Nh ist nf+ng/Komomologie der Einheitengarbe/K-Realisierung/Beispiel

Es sei

${}M=\langle f,g,h\rangle /(nh=nf+ng)\,$

das Monoid aus Beispiel. Über einem Körper, der sämtliche ${}n$-ten Einheitswurzeln enthält, besteht ${}K-\operatorname {Spec} {\left(M\right)}$ aus ${}n$ Ebenen, da der Monoidring durch

${}R=K[X,Y,Z]/{\left(Z^{n}-X^{n}Y^{n}\right)}\,$

gegeben ist und daher die Faktorisierung

${}Z^{n}-X^{n}Y^{n}={\left(Z-XY\right)}(Z-\zeta XY)\cdots (Z-\zeta ^{n-1}XY)\,$

vorliegt, wobei ${}\zeta$ eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel bezeichnet. Je zwei Ebenen schneiden sich in ${}Z=XY=0$, also im ebenen Achsenkreuz. Die Einheitengarbe ist

${}\Gamma (D(X),{\mathcal {O}}^{\times })=K^{\times }\times \mathbb {Z} \,,$

da ${}D(X)$ zusammenhängend ist, und

${}\Gamma (D(XY),{\mathcal {O}}^{\times })={\left(K^{\times }\right)}^{n}\times \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \,.$

Unter den Restriktionsabbildungen gehen die konstanten Einheiten auf die gleiche Untergarbe, als Kokern erhält man also

${}{\left(K^{\times }\right)}^{n}/{\rm {Diagonale}}\cong {\left(K^{\times }\right)}^{n-1}\,.$