Nilpotente Matrix/Exponentialabbildung/Eigenschaften/Aufgabe

Es seien ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und ein Körper ${}K$ der Charakteristik ${}0$ fixiert. Zu einer nilpotenten ${}n\times n$-Matrix ${}M$ sei ${}\exp M$ durch

${}\exp M=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}M^{k}\,$

definiert.

a) Zeige, dass für vertauschbare nilpotente Matrizen ${}M,N$ die Gleichheit

${}\exp {\left(M+N\right)}=\exp M\circ \exp N\,$

gilt.

b) Zeige, dass für eine nilpotente Matrix ${}M$ die Matrix ${}\exp M$ invertierbar ist.

c) Zeige, dass für eine nilpotente Matrix ${}M$ die Matrix ${}\exp M$ unipotent

ist.

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