Noetherscher Ring/Komplettierung/Modul/Tensorierung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die natürlichen Abbildungen

$M\otimes _{R}{\hat {R}}\longrightarrow {\hat {M}}$

von Fakt. Für ${}M=R$ ist dies ein Isomorphismus. Daraus folgt nach Fakt  (3) und Fakt, dass auch für freie Moduln endlichen Ranges ein Isomorphismus vorliegt. Einen beliebigen endlich erzeugten Modul ${}M$ kann man in der Form

$E\longrightarrow F\longrightarrow M\longrightarrow 0$

repräsentieren, wobei ${}E,F$ freie Moduln endlichen Ranges sind. Daraus erhalten wir mit Hilfe von Fakt bzw. Fakt die exakten Zeilen im folgenden Diagramm

${\begin{matrix}E\otimes _{R}{\hat {R}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&F\otimes _{R}{\hat {R}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&M\otimes _{R}{\hat {R}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\\\!\!\!\!\!\cong \downarrow &&\!\!\!\!\!\cong \downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\{\hat {E}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\hat {F}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\hat {M}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

Es ist zu zeigen, dass die vertikale Abbildung rechts bijektiv ist. Zum Nachweis der Surjektivität sei ${}v\in {\hat {M}}$. Dieses rührt von einem ${}v'\in {\hat {F}}$ her und dieses entspricht einem ${}u\in F\otimes _{R}{\hat {R}}$. Dessen Bild in ${}M\otimes _{R}{\hat {R}}$ wird dann wegen der Kommutativität auf ${}v$ abgebildet.

Zum Nachweis der Injektivität sei ${}u\in M\otimes _{R}{\hat {R}}$ ein Element, das auf ${}0$ abgebildet wird. Es gibt ein ${}u'\in F\otimes _{R}{\hat {R}}$, das auf ${}u$ abbildet. Dieses ${}u'$ entspricht einem ${}v'\in {\hat {F}}$. Da dieses auf ${}0$ abbildet, gibt es ein ${}v^{\prime \prime }\in {\hat {E}}$, das auf ${}v'$ abbildet. Das entsprechende Element ${}u^{\prime \prime }\in E\otimes _{R}{\hat {R}}$ bildet auf ${}u'$ ab und daher muss dieses auf ${}0$ abbilden, also ist ${}u=0$ und die Abbildung ist injektiv.

Zur bewiesenen Aussage