Noetherscher Ring/Komplettierung/Nichtnullteiler/Fakt/Beweis

Beweis

Wegen der Nichtnullteilereigenschaft ist der ${}R$-Modulhomomorphismus

$R\longrightarrow R,\,x\longmapsto xf,$

injektiv. Nach Fakt ist dann die komplettierte Abbildung

${\hat {R}}\longrightarrow {\hat {R}},\,x\longmapsto xf,$

ebenfalls injektiv. Dies bedeutet, dass ${}f$ in der Komplettierung ein Nichtnullteiler ist.

Zur bewiesenen Aussage