Noetherscher Ring/Maximales Ideal/Idealpotenz mal Modul/Restklassenmodul/Direkt und lokal/Fakt

Es sei ${}R$ ein noetherscher kommutativer Ring, ${}{\mathfrak {n}}$ ein maximales Ideal und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Es sei ${}S=R_{\mathfrak {n}}$ die Lokalisierung an ${}{\mathfrak {n}}$ mit dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}={\mathfrak {n}}R_{\mathfrak {n}}$ und ${}M_{\mathfrak {n}}$ die Lokalisierung des Moduls.

Dann ist

${}{\mathfrak {m}}^{n}M_{\mathfrak {n}}/{\mathfrak {m}}^{n+1}M_{\mathfrak {n}}\cong {\mathfrak {n}}^{n}M/{\mathfrak {n}}^{n+1}M\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen