Noetherscher Ring/Maximales Ideal/Modul/Lokalisierung/Hilbert-Samuel-Funktion/Fakt

Es sei ${}{\mathfrak {n}}\subseteq R$ ein maximales Ideal in einem noetherschen Ring und es sei ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul.

Dann ist die Hilbert-Samuel-Funktion des ${}R_{\mathfrak {n}}$-Moduls ${}M_{\mathfrak {n}}$ gleich

${}H(n)=\dim _{R/{\mathfrak {n}}}{\left({\mathfrak {n}}^{n}M/{\mathfrak {n}}^{n+1}M\right)}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen