Normale Körpererweiterung/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1) ist trivial.
(2). Sei ${}x\in L$ mit dem Minimalpolynom ${}F$, das den Grad ${}1$ oder ${}2$ besitzt. In ${}L[X]$ besitzt ${}F$ einen Linearfaktor, der andere Faktor ist wegen der Gradbedingung konstant oder auch ein Linearfaktor.
(3). Zu jedem ${}x\in L$ gibt es ein Polynom ${}F\in K[X]$, ${}F\neq 0$, mit ${}F(x)=0$, das über ${}L[X]$ zerfällt. Wegen ${}K[X]\subseteq M[X]$ gilt diese Eigenschaft auch für ${}M\subseteq L$.
(4). Nach (3) können wir sofort eine Körpererweiterung ${}\mathbb {Z} /(p)\subseteq {\mathbb {F} }_{q}$ mit einer Primzahl ${}p$ und einer Primzahlpotenz ${}q=p^{e}$ betrachten. Jedes Element ${}x\in {\mathbb {F} }_{q}$ ist nach dem Satz von Lagrange eine Nullstelle des Polynoms ${}X^{q}-X$, sodass dieses Polynom über ${}{\mathbb {F} }_{q}$ zerfällt.

Zur bewiesenen Aussage