Normaler Integritätsbereich/Quotientenkörper/Galoiserweiterung/Invariantenring/Bemerkung

Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ und ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$. Es sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$. Dann operiert nach Fakt ${}G$ auf ${}S$ und der Invariantenring ist ${}R$. Der Morphismus

$\varphi \colon \operatorname {Spec} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spec} {\left(R\right)}$

ist i.A. nicht étale (weder flach noch unverzweigt). Es gibt aber natürliche offene nichtleere Mengen ${}U\subseteq \operatorname {Spec} {\left(R\right)}$, sodass die Einschränkung

$\varphi ^{-1}(U)\longrightarrow U$

étale ist.