Normaler noetherscher Bereich/Ordnung an Primstelle/Erste Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}R$ ein normaler noetherscher Integritätsbereich und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal in ${}R$ der Höhe ${}1$. Dann hat die Ordnung an ${}{\mathfrak {p}}$, also die Abbildung

$R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,f\longmapsto \operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f),$

folgende Eigenschaften.

1. ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(fg)=\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)+\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(g)$.
2. ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f+g)\geq \min\{\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f),\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(g)\}$.
3. ${}f\in {\mathfrak {p}}$ genau dann, wenn ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\geq 1$.

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