. Sei
mit einem
kommutativen Monoid
, das die angegebenen Eigenschaften erfüllt. Dann gibt es
nach Fakt (1)
einen reellen Raum und einen
spitzen
rationalen
polyedrischen Kegel
derart, dass
ist
(dabei kann man als das Differenzengitter zu wählen).
Ein solcher Kegel ist der Durchschnitt von endlich vielen Halbräumen
, .
Diese Halbräume kann man mit der Hilfe von linearen Abbildungen
-
durch
-
realisieren. Wegen der Rationalität kann man die sogar als ganzzahlig, also als Abbildungen von nach , ansetzen. Dies führt zu einem Gruppenhomomorphismus
-
der injektiv ist. Wenn nämlich ist, so gehört zu jedem der Halbräume , und das gleiche gilt für . Wegen der Spitzheit muss sein. Es sei das Bild in und es sei
-
der zugehörige
Restklassenhomomorphismus.
Insgesamt ist
Das zuletzt angegebene Monoid besteht aber aus allen Monomen in , deren -Grad gleich ist. Also ist
-
der Ring der neutralen Stufe von unter der durch gegebenen Graduierung.
. Die neutrale Stufe besteht aus sämtlichen
-Linearkombinationen
zu Monomen, deren Grad unter der Graduierung ist. Diese Monome bilden offenbar ein Monoid, das wir nennen. Es ist also
-
mit . Der zugehörige Monoidring stimmt mit der neutralen Stufe überein. Wegen ist das Monoid
spitz,
torsionsfrei
und genügt der
Kürzungsregel.
Die
Normalität
ist ebenfalls klar. Wegen
folgt die endliche Erzeugtheit aus
Fakt (2).