Normierter Vektorraum/Einführung/Textabschnitt
Definition
Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Dann nennt man zu einem Vektor die reelle Zahl
die Norm von .
Lemma
Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Dann gelten für die zugehörige Norm folgende Eigenschaften.
- Es ist .
- Es ist genau dann, wenn ist.
- Für
und
gilt
- Für
gilt
Beweis
Die ersten beiden Eigenschaften folgen direkt aus der Definition des
Skalarprodukts.
Die Multiplikativität folgt aus
Zum Beweis der Dreiecksungleichung schreiben wir
Aufgrund von
Fakt
ist dies . Diese Abschätzung überträgt sich auf die Quadratwurzeln.
Definition
Es sei ein -Vektorraum. Eine Abbildung
heißt Norm, wenn die folgenden Eigenschaften für alle gelten.
- Es ist für alle .
- Es ist genau dann, wenn ist.
- Für
und
gilt
- Für
gilt
Definition
Ein -Vektorraum heißt normierter Vektorraum, wenn auf ihm eine Norm definiert ist.
Definition
Auf einem normierten Vektorraum mit Norm definiert man die zugehörige Metrik durch
Dies ist in der Tat eine Metrik.
Lemma
Ein normierter Vektorraum ist durch die zugehörige Metrik
ein metrischer Raum.
Beweis
- Es ist genau dann, wenn , also ist.
- Es ist
- Für beliebiges
ist nach der Definition einer Norm