Normierter Vektorraum/K/Einführung/Textabschnitt

Aufgrund von Fakt ist die Norm zu einem Skalarprodukt eine Norm im Sinne der folgenden Definition und ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt ist insbesondere ein normierter Vektorraum.

Definition

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum. Eine Abbildung

$\Vert {-}\Vert \colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,$

heißt Norm, wenn die folgenden Eigenschaften für alle ${}v,w\in V$ gelten.

1. Es ist ${}\Vert {v}\Vert \geq 0$ für alle ${}v\in V$.
2. Es ist ${}\Vert {v}\Vert =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.
3. Für ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$ und ${}v\in V$ gilt

   ${}\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$

4. Für ${}v,w\in V$ gilt

   ${}\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.$

Definition

Ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum heißt normierter Vektorraum, wenn auf ihm eine Norm ${}\Vert {-}\Vert$ definiert ist.

Auf einem euklidischen Vektorraum nennt man die über das Skalarprodukt gegebene Norm auch die euklidische Norm. Bei ${}V=\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt ist

${}\Vert {v}\Vert ={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}}}\,.$

Beispiel

Im ${}{\mathbb {K} }^{n}$ ist durch

${}\Vert {x}\Vert _{\rm {max}}:={\max {\left(\vert {x_{i}}\vert ,i=1,\ldots ,n\right)}}\,$

eine Norm definiert, die die Maximumsnorm heißt.

Die Summenmetrik heißt auch Taxi-Metrik. Die grüne Linie repräsentiert den euklidischen Abstand, die anderen repräsentieren den Summenabstand.

Beispiel

Im ${}{\mathbb {K} }^{n}$ ist durch

${}\mid \mid \!x\!\mid \mid _{\rm {sum}}:=\sum _{i=1}^{n}\vert {x_{i}}\vert \,$

eine Norm definiert, die die Summennorm heißt.

Zu einem Vektor ${}v\in V$, ${}v\neq 0$, in einem normierten Vektorraum ${}V$ nennt man den Vektor ${}{\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}$ den zugehörigen normierten Vektor. Ein solcher normierter Vektor besitzt die Norm ${}1$. Der Übergang zum normierten Vektor heißt Normierung.