Normierter Vektorraum/Lineare Abbildung/Normabschätzung/Stabil/Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum und ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung.

1. Zeige, dass für jeden Vektor ${}v\in V$ die Abschätzung

   ${}\Vert {\varphi (v)}\Vert \leq \Vert {v}\Vert \,$

   genau dann gilt, wenn für die Supremumsnorm

   ${}\Vert {\varphi }\Vert \leq 1\,$

   gilt.

2. Zeige, dass ${}\varphi$, wenn es die Bedingungen aus Teil (1) erfüllt, stabil ist.
3. Man gebe ein Beispiel für ein ${}\varphi$, das stabil ist, das aber nicht die Eigenschaften aus Teil (1) besitzt.

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