Normierter Vektorraum/Lineare Abbildung/Normabschätzung/Stabil/Aufgabe/Lösung

1. Es sei zunächst die Bedingung für alle Vektoren erfüllt. Dann ist

   ${}\Vert {\varphi }\Vert ={\operatorname {sup} \,(\Vert {\varphi (v)}\Vert ,\Vert {v}\Vert =1)}\leq {\operatorname {sup} \,(\Vert {v}\Vert ,\Vert {v}\Vert =1)}=1\,.$

   Wenn umgekehrt die Supremumsnorm ${}\leq 1$ ist, so gilt für jeden Vektor ${}v\neq 0$ die Abschätzung

   ${}{\begin{aligned}\Vert {\varphi (v)}\Vert &=\Vert {\varphi (\Vert {v}\Vert \cdot {\frac {v}{\Vert {v}\Vert }})}\Vert \\&=\Vert {\,\Vert {v}\Vert \varphi ({\frac {v}{\Vert {v}\Vert }})}\Vert \\&=\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {\varphi ({\frac {v}{\Vert {v}\Vert }})}\Vert \\&\leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {\varphi }\Vert \\&\leq \Vert {v}\Vert .\end{aligned}}$

2. Aus

   ${}\Vert {\varphi (v)}\Vert \leq \Vert {v}\Vert \,$

   folgt durch eine einfache Induktion direkt

   ${}\Vert {\varphi ^{n}(v)}\Vert \leq \Vert {v}\Vert \,$

   für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Zu jedem Vektor sind also die Werte unter allen Potenzen von ${}\varphi$ durch ${}\Vert {v}\Vert$ beschränkte und somit ist die Abbildung stabil.

3. Wir betrachten die Matrix ${}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&1\\0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$, die nach Fakt  (5) stabil ist. Der Standardvektor ${}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ wird dabei auf ${}{\begin{pmatrix}1\\{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$ abgebildet, der in der euklidischen Norm größer als der Ausgangsvektor ist.

Zur gelösten Aufgabe