Normierter Vektorraum/Metrik/Einführung/Textabschnitt


Es sei eine Menge. Eine Abbildung heißt Metrik (oder Distanzfunktion), wenn für alle die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  1. genau dann, wenn ist (Definitheit),
  2. (Symmetrie), und
  3. (Dreiecksungleichung).

Ein metrischer Raum ist ein Paar , wobei eine Menge und eine Metrik ist.


Auf einem normierten Vektorraum mit Norm definiert man die zugehörige Metrik durch

Dies ist in der Tat eine Metrik.


Ein normierter Vektorraum ist durch die zugehörige Metrik

ein metrischer Raum.

Beweis

Siehe Aufgabe.


Damit ist ein euklidischer Raum insbesondere ein metrischer Raum.

Ein affiner Raum über einem normierten Vektorraum wird zu einem metrischen Raum, indem man

setzt. Diese Metrik ist invariant unter Translationen.



Es sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Dann ist ebenfalls ein metrischer Raum, wenn man

für alle setzt. Diese Metrik heißt die induzierte Metrik.


Daher ist insgesamt jede Teilmenge eines affinen Raumes über einem euklidischen oder normierten Vektorraum ein metrischer Raum.