Normierter Vektorraum/Metrik/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}M$ eine Menge. Eine Abbildung ${}d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Metrik (oder Distanzfunktion), wenn für alle ${}x,y,z\in M$ die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. ${}d{\left(x,y\right)}=0$ genau dann, wenn ${}x=y$ ist (Definitheit),
2. ${}d{\left(x,y\right)}=d{\left(y,x\right)}$ (Symmetrie), und
3. ${}d{\left(x,y\right)}\leq d{\left(x,z\right)}+d{\left(z,y\right)}$ (Dreiecksungleichung).

Ein metrischer Raum ist ein Paar ${}(M,d)$, wobei ${}M$ eine Menge und ${}d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ eine Metrik ist.

Definition

Auf einem normierten Vektorraum ${}V$ mit Norm ${}\Vert {-}\Vert$ definiert man die zugehörige Metrik durch

${}d(v,w):=\Vert {v-w}\Vert \,.$

Dies ist in der Tat eine Metrik.

Lemma

Ein normierter Vektorraum ${}V$ ist durch die zugehörige Metrik

ein metrischer Raum.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Damit ist ein euklidischer Raum insbesondere ein metrischer Raum.

Bemerkung  

Ein affiner Raum über einem normierten Vektorraum ${}V$ wird zu einem metrischen Raum, indem man

${}d(P,Q)=\Vert {\overrightarrow {PQ}}\Vert \,$

setzt. Diese Metrik ist invariant unter Translationen.

Beispiel

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Dann ist ${}T$ ebenfalls ein metrischer Raum, wenn man

${}d_{T}(x,y):=d(x,y)\,$

für alle ${}x,y\in T$ setzt. Diese Metrik heißt die induzierte Metrik.

Daher ist insgesamt jede Teilmenge eines affinen Raumes über einem euklidischen oder normierten Vektorraum ein metrischer Raum.