Obere Dreiecksmatrix/Auffinden der Jordanschen Normalform/Hauptraum/Verfahren

Wir beschreiben, wie man zu einer linearen trigonalisierbaren Abbildung eine Basis findet, bezüglich der die beschreibende Matrix in jordanscher Normalform ist. Dazu bestimmt man zu jedem Eigenwert ${}\lambda \in K$ den minimalen Exponenten ${}s$ mit

${}\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{s}=\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{s+1}\,.$

Dieser Kern ist der Hauptraum zu ${}\lambda$. Man setzt

${}V_{i}=\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{i}\subseteq \operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )\,$

für ${}i=1,\ldots ,s$. Dies ergibt eine Kette

${}V_{1}=\operatorname {Eig} _{}{\left(\lambda \right)}\subseteq V_{2}\subset \cdots \subset V_{s-1}\subset V_{s}=\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )\,.$

Man wählt nun aus ${}V_{s}\setminus V_{s-1}$ einen Vektor ${}u$. Die Vektoren

$u,(\varphi -\lambda \operatorname {Id} )(u),(\varphi -\lambda \operatorname {Id} )^{2}(u),\ldots ,(\varphi -\lambda \operatorname {Id} )^{s-1}(u)$

bilden eine Basis für einen Jordan-Block. Wenn diese Basis schon den ganzen Hauptraum abdeckt, ist man fertig. Andernfalls sucht man in ${}V_{s}\setminus V_{s-1}$ einen weiteren, zu ${}u$ und ${}V_{s-1}$ linear unabhängigen Vektor und nimmt wieder sämtliche sukzessiven Bilder hinzu. Wenn ${}V_{s}\setminus V_{s-1}$ ausgeschöpft ist, schaut man, ob ${}V_{s-1}\setminus V_{s-2}$ bereits abgedeckt ist, u.s.w. Wenn der Hauptraum zu ${}\lambda$ ausgeschöpft ist, macht man mit dem nächsten Eigenwert weiter.

Unter gewissen Umständen kann man auch mit einer Basis des Eigenraumes anfangen. Wenn beispielsweise der Eigenraum zu ${}\lambda$ eindimensional ist, so kann man einen Eigenvektor ${}v$ zu ${}\lambda$ wählen und dazu sukzessive Urbilder unter ${}\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}$ finden, also

${}v={\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}\right)}(v')\,$

lösen, dann

${}v'={\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}\right)}(v^{\prime \prime })\,$

u.s.w.

Wenn beispielsweise der Eigenraum ${}k$-dimensional und der Hauptraum ${}(k+1)$-dimensional, so muss man nur für einen Eigenvektor ein Urbild unter ${}\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}$ finden.