Obere Dreiecksmatrix/Eigenwerte/Diagonalelement/Direkt/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor von ${}M={\left(d_{ij}\right)}_{ij}$ zum Eigenwert ${}t\in K$. Da eine obere Dreiecksmatrix vorliegt, bedeutet dies

${}d_{11}x_{1}+\cdots +d_{1n}x_{n}=tx_{1}\,,$

${}d_{22}x_{2}+\cdots +d_{2n}x_{n}=tx_{2}\,,$

$\vdots$

${}d_{n-1\,n-1}x_{n-1}+d_{(n-1)n}x_{n}=tx_{n-1}\,,$

${}d_{nn}x_{n}=tx_{n}\,.$

Es sei ${}k$ der größte Index mit ${}x_{k}\neq 0$, was es gibt, da ein Eigenvektor nicht der Nullvektor ist. Dann vereinfacht sich die ${}k$-te Gleichung

${}d_{kk}x_{k}+\cdots +d_{kn}x_{n}=tx_{k}\,$

zu

${}d_{kk}x_{k}=tx_{k}\,$

und wegen

${}x_{k}\neq 0\,$

folgt

${}t=d_{kk}\,,$

d.h. dass der Eigenwert ${}t$ ein Diagonalelement ist.

Zur gelösten Aufgabe