Obere Halbebene/Einheitskreis/Rational isomorph/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass durch die Abbildungen

$\varphi \colon {\mathbb {H} }\longrightarrow U{\left(0,1\right)},\,z\longmapsto {\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}},$

und

$\psi \colon U{\left(0,1\right)}\longrightarrow {\mathbb {H} },\,w\longmapsto {\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}},$

eine biholomorphe Abbildung zwischen der oberen Halbebene ${}{\mathbb {H} }$ und der offenen Einheitskreisscheibe ${}U{\left(0,1\right)}$ gegeben ist.

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