Offene Menge/C/Einfach zusammenhängend/Invertierungsfunktion/Logarithmus/Beispiel

Es sei eine offene einfach zusammenhängende Teilmenge mit . Dann ist auf die komplexe Invertierung definiert und besitzt dort nach Fakt eine Stammfunktion , die bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist und die man als einen Logarithmus auf ansehen kann. Wir betrachten die Bedingung

Für einen beliebigen Punkt legt diese über

ein (nicht eindeutiges) fest. Es gilt dann

und

Also ist

konstant und damit ist

und wegen der durch festgelegten Bedingung ist

Der über die Stammfunktionsbedingung festgelegte Logarithmus ist also auch das Linksinverse auf zur Exponentialfunktion.