Offene Menge/Punkt/Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Pol/Charakterisierung/Fakt

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und

$f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. ${}f$ besitzt in ${}a$ einen Pol.
2. ${}\vert {f(z)}\vert$ divergiert für ${}z\rightarrow a$ bestimmt gegen ${}\infty$.
3. In der Laurent-Reihe zu ${}f$ in ${}a$ sind alle Koeffizienten zu Indizes unterhalb eines bestimmten Index gleich ${}0$, und mindestens ein Koeffizient zu einem negativen Index ist nicht gleich ${}0$.
4. ${}f$ ist in ${}a$ meromorph, aber nicht holomorph.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen