Offene Menge/Punkt/Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Pol/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei (1) erfüllt, d.h. dass

mit einer holomorphen Funktion auf und . Dann divergiert für gegen , da ja der Zähler konvergiert und der Nenner dieses Verhalten besitzt. Dies ergibt (2). Von (2) nach (1). Wir betrachten die Funktion auf einer offenen Kreisscheibe von , worauf keine Nullstelle besitzt. Dies ist eine holomorphe Funktion auf der punktierten Kreisscheibe, deshalb gibt es eine beschreibende Laurent-Reihe,

Die Voraussetzung bedeutet, dass für gegen konvergiert. Daher ist nach Fakt eine holomorphe Funktion, d.h.

mit einer holomorphen Funktion mit , . Durch invertieren folgt

wobei der rechte Faktor auf einer offenen Umgebung von definiert und holomorph ist.

Von (1) nach (3). Aus der Darstellung

aus (1) in Verbindung mit der Potenzreihenentwicklung

ergibt sich

Unterhalb von Index sind alle Koeffizienten gleich , und einer der Koeffizienten zu einem negativen Index muss sein, sonst wäre holomorph. Dies ergibt (3). Von (3) nach (1) ist klar, da man ja eine Laurent-Darstellung der Form

mit multiplizieren kann, um eine holomorphe Funktion in zu erreichen.

Die Äquivalenz von (2) und (4) ergibt sich unmittelbar aus der Definition für meromorph.