Holomorphe Funktion/Riemannscher Hebbarkeitssatz/Charakterisierung/Eindimensional/Fakt

Riemannscher Hebbarkeitssatz

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen, ${}P\in G$ ein Punkt und ${}f\colon G\setminus \{P\}\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. Es gibt eine stetige Fortsetzung

   ${\tilde {f}}\colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   von ${}f$.

2. Der Betrag von ${}f$ ist in einer offenen Umgebung von ${}P$ beschränkt.
3. Es ist

   ${}\operatorname {lim} _{z\rightarrow P}\,(z-P)f(z)=0\,.$

4. Es gibt eine holomorphe Fortsetzung

   ${\tilde {f}}\colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   von ${}f$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen