Holomorphe Funktion/Riemannscher Hebbarkeitssatz/Charakterisierung/Eindimensional/Fakt/Beweis

Beweis

Die Implikationen von (1) nach (2), von (2) nach (3) und von (4) nach (1) sind klar. Sei also (3) erfüllt. Zur Notationsvereinfachung sei ${}P=0$. Wir betrachten die Funktion

${}g(z)=zf(z)\,,$

die wir durch ${}g(0)=0$ zu einer Funktion auf ${}G$ fortsetzen. Diese ist stetig nach Voraussetzung in Verbindung mit Fakt. Ferner setzen wir

${}h(z)=zg(z)\,.$

Wir lesen die Gleichung

${}h(z)=zg(z)=0+0z+zg(z)\,$

als eine affin-lineare Approximation für ${}h$ (vergleiche Fakt). Daher ist ${}h$ im Nullpunkt komplex differenzierbar und damit auf ganz ${}G$ holomorph. Nach Fakt gibt es für ${}h$ eine Beschreibung als Potenzreihe in einer offenen Umgebung,

${}h(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}\,.$

Aufgrund der Definition von ${}h$ ist ${}c_{0}=c_{1}=0$ und damit ist

${}{\begin{aligned}h(z)&=\sum _{n=2}^{\infty }c_{n}z^{n}\\&=z^{2}{\left(\sum _{n=2}^{\infty }c_{n}z^{n-2}\right)}\\&=z^{2}{\left(\sum _{k=0}^{\infty }c_{k+2}z^{k}\right)}.\end{aligned}}$

Daher ist

${}{\tilde {f}}=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k+2}z^{k}\,$

eine holomorphe Fortsetzung von ${}f$.

Zur bewiesenen Aussage