Offenes Intervall/Zusammenhang/Kurze exakte Sequenz/Aufgabe

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall, wir betrachten die kurze exakte Sequenz (von Vektorbündeln über ${}I\times \mathbb {R}$)

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,I\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,I\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,I\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,$

wobei die erste Abbildung durch ${}(P,u,w)\mapsto (P,u,0,w)$ und die zweite Abbildung durch ${}(P,u,v,w)\mapsto (P,u,v)$ gegeben sei. Es seien

$g,h\colon I\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

stetig differenzierbare Funktionen.

1. Zeige, dass durch

   $I\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow I\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ,\,(P,u,v,w)\longmapsto (P,u,vg(P,u)+wh(P,u)),$

   ein Vektorbündelhomomorphismus über ${}I\times \mathbb {R}$ gegeben ist.

2. Es sei ${}h=1$ konstant. Zeige, dass die Abbildung in (1) eine Spaltung des Bündels in der Mitte definiert.

Eine Lösung erstellen