Formale Aspekte

Namen der Verfasser der Lernumgebungsdokumentation

Universität des Saarlandes: Joschka Bauer, Elisa-Marie Ligensa, Kira Zimmer

Goethe Universität Frankfurt: Joana Markgraf

E-Mail-Adressen und Datum

s9jobaue(at)stud.uni-saarland.de, s8ellige(at)stud.uni-saarland.de, s8kizimm(at)stud.uni-saarland.de

Letzte Aktualisierung: 13.09.2021

Inhaltsaspekte

Name der Lernumgebung

Das Wunder der Gleichheit

Kurzbeschreibung der Lernumgebung

Ziel der Lernumgebung ist es, einen Beweis zur Konstanz der Summe beim gegensinnigen Verändern von zwei Schüler:Innen in Tandemarbeit durchführen zu lassen. Bewiesen werden soll, dass für alle natürlichen Zahlen gilt, dass sich der Wert einer Summe nicht ändert, wenn ihre Summanden gegensinnig so verändert werden, dass die Differenz der Veränderung 0 beträgt. Dabei wird die Konstanz der Summe über die Zahlzerlegung erarbeitet. Die Förderung des Zahlverständnisses, hier im Besonderen des Teil-Ganze-Verständnisses, sowie der Argumentations- und Kommunikationskompetenz , durch die kooperative Bearbeitung der Aufgabenstellungen, liegt der Lernumgebung als didaktische Motivation zugrunde. Die Lernumgebung ist kleinschrittig strukturiert und geschlossen konzipiert, kann aber je nach Kompetenzen der Schüler:Innen weiter geöffnet werden. Als Arbeitsmittel werden Wendeplättchen und Würfelbecher eingesetzt. Zur affektiven Aktivierung und Lenkung durch den Beweis wird von den Schüler:Innen ein Entdeckerheft geführt.

Zur Durchführung der Lernumgebung wird, je nach Leistungsniveau der Klasse, eine Unterrichtseinheit von 45-90 Minuten benötigt.

Adressaten der Lernumgebung

Die Lernumgebung kann gegen Ende der ersten Klasse eingesetzt werden. Da die Erarbeitung in Tandems erfolgt und die Lehrperson die einzelnen Tandems individualisiert und lernbegleitend unterstützen kann, steht der gesamte Klassenverband im Fokus der Durchführung. Die Tandems können dabei randomisiert zusammengestellt werden oder die Lernbegleitung kann leistungsheterogene oder -homogene Tandems bilden. Dabei sollten die Ansprüche und das Vorwissen der Lerngruppe berücksichtigt werden.

Zentrale Aufgabenstellungen und Arbeitsaufträge in der Lernumgebung

Zum Einstieg werden die Tandems eingeteilt und die Materialien bereitgestellt. Anschließend werden die Entdeckerhefte verteilt und die Aufgabenstellungen werden kurz besprochen, damit die Tandems anschließend selbstverantwortlich am Entdeckerheft arbeiten können. Das Verständnis für die Arbeitsaufträge soll durch die Piktogramme unterstützt werden. Dennoch ist es anzuraten das Verständnis durch die Schüler:Innen abzuprüfen, indem die Arbeitsaufträge in der richtigen Reihenfolge wiederholt werden. Im Einstieg wird darauf hingewiesen, dass die Lernbegleitung bei Fragen und Problemen zur Hilfe bereitsteht. Die Lernbegleitung sollte zudem auf die Relevanz der Kommunikation im Tandem hinweisen um die Kooperation zwischen den Schüler:Innen anzuregen. Mit operationalisierten Impulsen auf den einzelnen Seiten des Entdeckerheftes werden die Schüler:Innen durch den Beweis geführt. Die Lernbegleitung sollte sich während der Arbeitsphase möglichst zurückhalten. Für Probleme, die sich während der Erarbeitung des Beweises ergeben, wurden dennoch Lenkimpulse für die Lernbegleitung zur Verfügung gestellt.

Zentrale Aufgabenstellungen:

Würfeln von Wendeplättchen und Notation der Ergebnisse (Unterschiedliche Zerlegungen werden notiert)
Erarbeitung weiterer (aller) Zerlegungen und Notation der Ergebnisse (Ergänzen weiterer Zerlegungen durch enaktives Arbeiten mit den Wendeplättchen, ikonische Darstellung im Zerlegehäuschen oder die Veränderung der Zahlenwerte in ihrer symbolischen Darstellung)
Untersuchen der Lösung, Markieren und Notieren von Ergebnissen des Vergleichs (Einsatz von Forschermitteln, ikonische oder symbolische Darstellung der Ergebnisse)
Wiederholung der Aufgabenstellungen 1) und 2) mit einer veränderten Anzahl Wendeplättchen
Untersuchen der Lösungen, (Vergleich von Gemeinsamkeiten und Unterschieden der beiden Lösungen und Notation)
Verallgemeinerung der Erkenntnisse aus Aufgabenstellungen 5) auf beliebige Zahlen und ihre Zerlegungen

Technische Voraussetzungen und Vorwissen der Schüler:Innen

Die Lernumgebung weist keine besonderen technischen Voraussetzungen auf. In der Klasse sollten ausreichend Wendeplättchen und Würfelbecher für alle Tandems vorhanden sein und das Entdeckerheft sollte von der Lernbegleitung vorbereitet worden sein. Obgleich die Lernumgebung die Schüler:Innen kleinschrittig zum Beweis hinführt, sind Erfahrungen mit der Verwendung von Wendeplättchen und dem Aufgabenformat der Zerlegehäuschen grundlegend, weshalb die Lernumgebung erst gegen Ende der ersten Klasse eingesetzt werden sollte. Da die Lernumgebung als kooperatives Format in Tandemarbeit geplant ist, sollten die Schüler:Innen bereits Erfahrungen mit der Partnerarbeit gemacht haben und grundlegende kommunikative und kooperative Kompetenzen mitbringen. Die Schüler:Innen sollten sich mindestens auf der 6. Stufe des Modells des arithmetischen Vorwissens von Weißhaupt und Peucker (2009, S.59) befinden oder die 6. Stufe sollte in der Zone der nächsten Entwicklung der Schüler:Innen liegen, um die Lernumgebung möglichst gewinnbringend einzusetzen und eine Überforderung der Schüler:Innen zu verhindern.

Mathematischer Gehalt der Lernumgebung

Mathematische Analyse

Die Lernumgebung beginnt der der enaktiven Erarbeitung verschiedener Zerlegungsbeispiele und der Notation der Ergebnisse in Zerlegehäuschen . Hier müssen die Schüler:Innen eine Darstellungsform wählen und einen ersten intermodalen Transfer von der enaktiven zur ikonischen oder symbolischen Darstellung durchführen. Bei der Ergänzung von weiteren Beispielen können die Schüler:Innen diese enaktiv an den Wendeplättchen erarbeiten oder ihr Teil-Ganzes-Verständnis nutzen, um die Zerlegehäuschen zu vervollständigen. Über den Vergleich der Zerlegungen sollen die Schüler:Innen ihre kommunikativen Kompetenzen ausbauen und auf bekannte Forschermittel (vgl. Selter, 2018) zur Strukturierung ihrer Erkenntnisse zurückgreifen. Der erste Vergleich fokussiert noch keine besonderen Aspekte der Zerlegungen, sondern dient der Eingewöhnung an das vergleichende Arbeiten mit den eigenen Arbeitsergebnissen. Dennoch können sich zielführende Erkenntnisse der Schüler:Innen bereits auf die Konstanz der Summe oder auf die gleichwertige, gegensinnige Veränderung der Summanden beziehen. Dabei können die Ergebnisse schriftlich festgehalten und beschrieben werden, was die argumentativen Kompetenzen der Schüler:Innen fordert und fördert. Es kann den Schüler:Innen hier freigestellt werden auch eine andere Darstellungsform zu wählen und ihre Erkenntnisse ikonische darzustellen. Ausgehend von diesem Einzelbeispiel müssen die Schüler:Innen eine Verallgemeinerung ihrer Erkenntnisse zur Konstanz der Summe beim gegensinnigen Verändern ihrer Summanden erarbeiten. Hierzu wird zunächst ein weiteres Beispiel erarbeitet, wobei der Fokus hier auf der Verallgemeinerung des Werts der Veränderungen liegt. Der Vergleich der Gemeinsamkeiten und Unterschiede der beiden Beispiele soll die Schüler:Innen auf die unabhängige Gültigkeit der Konstanz der Summe, vom Wert der Summe, aufmerksam machen.

Mathematikdidaktischer Gehalt der Lernumgebung

Didaktische Analyse

Generell sind die allgemeinen Schwierigkeiten, die für das Beweisen im Grundschulbereich festgestellt wurden, bei der Planung zu berücksichtigen (Für eine Beschreibung beweisspezifischer Schwierigkeiten kann bei Brunner (2014, S.84f.) nachgelesen werden). Speziell auf die Lernumgebung bezogen, müssen Schwierigkeiten beim Verallgemeinern der induktiv erarbeiteten Erkenntnisse auf eine allgemeingültige Regel erwartet werden. Probleme mit dem Teil-Ganzes-Verständnis und der Zahlzerlegung können zu Folgeschwierigkeiten bei der Beweisumgebung führen. Es wird mehrfach ein intermodaler Transfer verlangt, was bei Kindern, die Schwierigkeiten mit dem Darstellungswechsel haben zu Schwierigkeiten führen kann. Je nach Leistungsniveau der Tandems können qualitativ stark unterschiedliche Arbeitsergebnisse entstehen. Durch ein abschließendes Gespräch im Plenum, indem die unterschiedlichen Tandems ihre Ergebnisse vorstellen, kann die Klassenregel erarbeitet werden und ein gemeinsames Lernergebnis festgehalten werden. Problematisch kann hieran sein, dass Schüler:Innen, die sich den Beweis im Verlauf nicht selbstständig erschlossen haben eine Lösung präsentiert wird ohne, dass das Verständnis gesichert wurde.

„Gute“ Aufgaben & Differenzierung

Offenheit bieten die Aufgaben trotz der starken Strukturierung durch das Entdeckerheft in Bezug auf die Darstellungsformen. Im Sinne der Optimalen Passung können die Schüler:Innen die Anzahl der Plättchen frei nach ihrem Leistungsniveau wählen, beschränkt nur durch die Anzahl der zur Verfügung gestellten Plättchen. Außerdem können sich die Schüler:Innen durch die Zusammenarbeit in Tandems gegenseitig in ihren Lösungsprozessen unterstützen. Die einzelnen Aufgaben weisen durch die frei wählbaren Lösungswege und Darstellungsformen der Lösungen, sowie dem freien Zahlenraum eine natürliche Differenzierung auf. Um die Passung für die angestrebte Lerngruppe zu optimieren, werden die lerngruppenorientiert operationalisierten Arbeitsaufträge durch Piktogramme unterstützt. Die mathematische Ergiebigkeit der Lernumgebung zeigt sich in den „Aufgaben, die zum Entdecken von Mustern und Beziehungen oder zum Formulieren von Verallgemeinerungen anregen“ (Meier, 2011, S.83 zitiert nach Platz, 2020). Die Schüler:Innen werden nach der Erarbeitung der Beispiele immer wieder zur Untersuchung ihrer Ergebnisse angeregt und sollen diese in Beschreibungen und Regeln festhalten, was das Argumentieren fördert. Durch die Tandemarbeit wird die allgemeine Kompetenz des Kommunizierens gefördert. Die Aufgaben fordern die Schüler:Innen zum gemeinsamen entdecken heraus und fördern das eigenständige Problemlösen. Inhaltlich kann die Lernumgebung den Leitideen Muster und Strukturen und Zahlen und Operationen zugeordnet werden. Durch die selbstständige Bearbeitung der Beweisumgebung, nachdem die Aufgabenstellung gemeinsam erläutert wurde, und durch das kooperative Format sollen die Selbstwirksamkeit und die sozialen Kompetenzen der Schüler:Innen gestärkt werden und die Schüler:Innen ein positives Könnensbewusstsein aufbauen (vgl. Pikas, 2009).

Artikulation, Kommunikation, Soziale Organisation

Die Artikulationsoption des Sprechens wird durch die kooperative Sozialform und das Anschlussgespräch einbezogen. Das Handeln wird durch das eigenständige Arbeiten mit Wendeplättchen realisiert und die Artikulationsoption des Schreibens wird durch die Notation der Ergebnisse / Erkenntnisse auf den zur Verfügung gestellten Arbeitsblättern gefordert. Während die Arbeitsaufträge relativ stringent durch die Erarbeitung der Beispiele führen, lässt die Formulierung der eigenen Regel unterschiedlichste Lösungsstrategien und Darstellungsformen zu. Durch die aufeinander aufbauenden Arbeitsaufträge, die zu einer erneuten und vertieften Auseinandersetzung mit ein und demselben Inhalt herausfordern, wird das Behalten unterstützt. Die gesamte Lernumgebung soll von den Schüler:Innen in Tandemarbeit durchgeführt werden. Am Schluss findet eine Reflexion im Plenum statt. Hier stellen die Tandems ihre Regeln vor und es wird gemeinsam eine Klassenregel entwickelt oder es wird sich für eine der vorgeschlagenen allgemeingültigen Regeln entschieden. Durch die Notation aller Teilergebnisse und einer allgemeinen Regel am Ende kann das Lernergebnis durch die Lernbegleitung im Nachgang überprüft werden und steht den Schüler:Innen zukünftig als Lerndokument zur Verfügung. Sollten sich während der Bearbeitung der Aufgaben Schwierigkeiten bei den einzelnen Tandems ergeben, kann die Lernbegleitung durch die folgenden Lenkimpulse eine Auseinandersetzung mit der Lernumgebung anregen und die Schüler:Innen in ihrem Lernprozess unterstützen.

Impulse bzw. Fragen, welche die einzelnen Phasen des Interagierens mit der Lernumgebung begleiten können, lauten:

Legt XX Wendeplättchen in den Würfelbecher. Schüttelt und werft alle Wendeplättchen auf den Tisch.
Wie viele Plättchen sind rot, wie viele blau? Zeichnet sie als rote und blaue Kreise auf oder schreibt die Anzahl in die Zellen.
Werft fünf Mal und notiert jeweils die Anzahl der blauen und roten Plättchen.
Füllt den Rest des Zerlegehäuschen aus. Wie geht ihr vor? Besprecht euch miteinander.
Ergänze fehlende Zerlegungen. Wende die Plättchen dazu hin und her um neue Zerlegungen zu erhalten.
Gibt es noch mehr Zerlegungen? Woran erkennst du, dass du alle Zerlegungen gefunden hast?
Schaut euch euer Zerlegehäuschen genau an. Was haben alle Zerlegungen gemeinsam? Worin unterscheiden sie sich? Was habt ihr entdeckt? Könnt ihr das durch eine Zeichnung zeigen?
Wie kann man aus einer Zerlegung eine andere ableiten? Was fällt euch auf?
In eurer Regel sollte stehen was sich verändert und was gleich bleibt.
Vergleicht die beiden Zerlegehäuschen. Was haben die Häuschen gemeinsam, was unterscheidet sie? Schaut auf die Anzahl und Farben der Plättchen.
Gilt eure Regel für das erste Zerlegehäuschen auch beim Zweiten? Könnt ihr noch allgemeiner werden? Gilt das immer?
Welche Regeln habt ihr gefunden? Hat jemand eine Regel gefunden, die noch mehr Fälle beschreibt?
Welche Beschreibungen sind denn für unsere Regel wichtig? Was muss unbedingt in unsere Regel rein?

Flipbook Wunder der Gleichheit

Potenzial des Einsatzes (digitaler) Medien

Als investives Material nutzt die Lernumgebung Wendeplättchen und einen Würfelbecher. Die Handhabung der Wendeplättchen wird dabei als Lernvoraussetzung vorausgesetzt. Durch das Ergänzen der weiteren Zerlegungen erweitern die Schüler:Innen ihre Erfahrungen mit dem Umgang der Plättchen und der Möglichkeit Zahlen durch Plättchen darzustellen. Die Handlung des Drehens/Wendens einzelner Plättchen oder einer Gruppe von Plättchen entspricht weitgehend der gewünschten mentalen Operation des gegensinnigen Veränderns. Die Schüler:Innen nutzen die Wendeplättchen zunächst zur enaktiven Erarbeitung der Zerlegung und können sie bei der Verallgemeinerung für eine ikonische Darstellung nutzen. Wendeplättchen gelten als unstrukturiertes Material. Aufgrund der Zielgruppe und der Beschränkung durch die vorhandenen Anzahl an Plättchen pro Tandem, können die Wendeplättchen in diesen kleinen Zahlenräumen sinnvoll eingesetzt werden. Ein weiterer Vorteil der Plättchen zeigt sich in der Parallelität der enaktiven und mentalen Handlung und der Einfachheit der Handhabung. Auch der intermodale Transfer wird durch die einfache Form und Farbgebung der Plättchen begünstigt und das Übersetzen in ikonische Darstellungen wie zum Beispiel als Kreise angeregt. Die Nachteile der Wendeplättchen, welche sie für größere Zahlenräumen nicht vorteilhaft einsetzbar macht, können hier vernachlässigt werden, da eine Bearbeitung im kleinen Zahlenraum angestrebt wird, welche dann in späteren Schuljahren auf größere Zahlenräume erweitert werden kann. Auch die Nachteile, welche durch die Strukturiertheit entstehen und ein quasi-simultanes Erfassen erschweren, können hier vernachlässigt werden, da die Veränderungen zwischen und weniger die Struktur der einzelnen Zerlegungen entscheidend für die Lernumgebung sind. Die Nutzung von Wendeplättchen kann, besonders, wenn die Veränderungen zwischen den Zerlegungen in Einzelschritten durchgeführt werden, das zählende Rechnen stärken (vgl. Radatz & Schipper, 1996; Schipper, 2009, S. 293ff). Dem wird durch die veränderte Aufgabenstellung im zweiten Beispiel entgegengewirkt, da hier möglichst große Veränderung mit einem „Schritt“ erledigt werden sollen.

Druckversion:Begleitheft "Das Wunder der Gleichheit"

Als konsumtives Material stehen den Schüler:Innen Arbeitsblätter in Form eines Entdeckerheftes zur Verfügung, um den Beweis zu bearbeiten und ihre Ergebnisse zu fixieren. Die Arbeitsschritte sind dabei kleinschrittig und aufbauend strukturiert, um eine Lenkung durch die Lernumgebung zu ermöglichen. Der Vorteil der Organisationsform als Entdeckerheft ist, dass die Materialien alle an einem Platz gebunden sind und keine Blätter verloren gehen. Zudem ist so die Reihenfolge der Bearbeitung vorgegeben. Das Entdeckerheft dient den Schüler:Innen am Ende als gebündelt Zusammenstellung ihrer Ergebnisse und die Lehrperson kann die Lösungsstrategien der Schüler:Innen durch die Dokumentation nachvollziehen. Ein möglicher Nachteil könnte sein, dass das umfangreiche Heft die Schüler:Innen überfordert und zunächst abschreckt. Dieser Demotivation der Schüler:Innen soll durch die Tandemarbeit und das Entdeckerthema entgegengewirkt werden. Da nur auf Materialien zurückgegriffen wird, welche in den meisten Klasse vorhanden und bekannt sind, kann davon ausgegangen werden, dass keine zusätzlichen Ausgaben anfallen. Ein ausgewogenes Verhältnis zwischen Zeitaufwand und Lerngewinn der Schüler:Innen wurde angestrebt. Die Lernumgebung ist als Einstieg für weitere Beweisaktivitäten mit gesteigertem Öffnungsgrad gedacht, weshalb die erlernten Kompetenzen präskriptiv ausgerichtet sind. Zusätzlicher Zeitaufwand ist in Klassen einzuplanen, die noch keine Erfahrungen mit Entdecker-/Forscherheften haben und für die das selbstständige Arbeiten eingeführt werden muss. Die Lernumgebung sieht ein selbstverantwortliches, selbstorganisiertes Arbeiten der Schüler:Innen, im Rahmen der engen Lenkung und Strukturierung, vor, weshalb die Lernbegleitung nach der Einführung die Moderation und Impulsgebung übernimmt und nur auf Anfrage intervenieren soll. Die kooperative Arbeit der Schüler:Innen in Tandems sollte die Lenrbegleitung freistellen, um sich um individuelle Unterstützungsbedürfnisse zu kümmern, während die anderen Tandems die Lernumgebung durch das Begleitheft durchlaufen.

Evaluation

Das vollständig ausgefüllte und bearbeitete Begleitheft kann als Strategiedokument durch die Lehrperson verwendet werden, um die Lernerfolge der Schüler:Innen auszuwerten. Besonders die eigenen Regeln bieten dabei diagnostischen Mehrwert und lassen auf die Tiefe des Verständnisses der Schüler:Innen für den Beweis schließen. Die Abhängigkeit der einzelnen Tandems von zusätzlichen Lenkimpulsen während der Bearbeitung zeigt Unsicherheiten des Selbstwirksamkeitsempfinden und des selbstorganisierten Arbeitens der Schüler:Innen. Durch verschiedene Analysemethoden, wie beispielsweise nach KIRA (Kinder rechnen anders), können die Schülerlösungen analysiert werden. Die unterschiedlichen Lösungsstrategien können nur während der Bearbeitung durch aufmerksame Beobachtungen und das Verfolgen der Kommunikation zwischen den Tandempartnern analysiert werden. Die Arbeit im Tandem fordert, dass die Schüler:Innen kommunikative Kompetenzen aufweisen und gut zusammenarbeiten. Hier spielt das bisherige soziale Lernen im Klassenverband eine wichtige Rolle als Gelingensbedingung der Lernumgebung.

Vernetzung mit anderen Lernumgebungen

Die Konstanz der Summe lässt sich mit der Konstanz der Differenz, sowie der Konstanz des Produkts/ des Quotienten, welche in Klassenstufe 3/4 behandelt werden, in Zusammenhang setzen. Zur Vertiefung des gegensinnigen Veränderns kann die Thematik in höheren Klassenstufen weiter vertieft werden. Beispielhafte Beweisumgebungen für die dritte Klasse finden sich bei Stylianides (2016) oder bei Krumsdorf (2015, S.189ff.). Die erlernten allgemeinen und sozialen Kompetenzen sind themenunabhängig einsetzbar. Die Untersuchung der eigenen Arbeitsergebnisse und die damit verbundene Integration der Leitidee Muster und Strukturen in den Bereich von Zahlen und Operationen kann ebenfalls als Einstieg in eine vernetze Betrachtung der Leitideen gesehen werden. Ein Bezug zu anderen Fächern oder zur außerschulischen Lebenswelt der Schüler:Innen findet sich in der Lernumgebung kaum, wobei die Entdeckerthematik auf die kindlichen Lernwege des Entdeckens verweisen soll.

Reflexion der Lernumgebung

Während der Bearbeitung können besonders die Verallgemeinerung von den Beispielen auf allgemeingültige Aussagen problematisch sein. Sind die Darstellungsformen und Aufgabenformate unbekannt, so stellen diese Lernhindernisse dar. Besitzen die Schüler:Innen ein mangelndes Teil-Ganzes-Verständnis der Zahlzerlegung oder geringe Ausdrucks- und Sprachkompetenz, so können diese Stolpersteine für die Lernumgebung darstellen. Die Lernumgebung sollte nicht angewendet werden, ehe die Schüler, die Grundvorstellungen zur Zerlegung und Addition verinnerlicht haben.

Nach der Durchführung

Daten zur Durchführung

Die Erprobung fand am 18.06.2021 in einer Schule in Frankfurt statt. Es nahmen zwei Schüler:Innen teil und die Erprobung wurde durch zwei Student:Innen der Goethe Universität begleitet. Zum Zeitpunkt der Erpobung befand sich die Lernumgebung noch in der Entwicklung. Die Idee, einen Beweis des gegensinnigen Veränderns über die Zahlzerlegung anzuregen, und die Erarbeitungsschritte waren bereits festgelegt. Als konsumtives Material standen Papierstreifen und Arbeitsblätter zur Notation der Zerlegungen zur Verfügung (Bild rechts). Nach der Erprobung wurde die Lernumgebung nochmals intensiv überarbeitet. Das Begleitheft wurde zur besseren Strukturierung ergänzt und es wurden weitere Aufgaben hinzugefügt, die die Begründungen kleinschrittiger anleiten.

Schülerdokumente

Die Arbeit der Kinder wurde auf Video aufgezeichnet. Aus rechtlichen Gründen, stehen die Aufzeichnungen hier nicht zur Verfügung.

Hier ein Foto der ausgefüllten Arbeitsblätter:

Reflexion

Die folgenden Daten beruhen auf der Erprobung durch die Student:Innen aus Frankfurt und wurden bei der Überarbeitung der Lernumgebung berücksichtigt. Die unter Punkt 3. gelistet Verbesserungsvorschläge sind dabei in die Gestaltung des Begleitheftes (s.o.) eingeflossen.

1. Den Kindern ist es gelungen den Beweis durchzuführen. Allerdings hätten sie bei der Wahl einer größeren Zahl (z.B. 12 statt 5) eher den Einsatz des gegensinnigen Veränderns als gute Strategie erkennen können.

2. Was gut funktioniert hat:

Zusammenarbeit der Kinder untereinander
Angemessene Anzahl der Beteiligten (2 Schüler:Innen)
Angemessener zeitlicher Rahmen der Beweisdurchführung (30 Min)

- Bezüglich des Materials:

Benutzung des Materials als unkompliziert
Transfer der Zahldarstellung

- Bezüglich der Studierenden:

Aushalten der Stille
Flexibilität bzw. Reagieren auf Denkblockaden der SuS

3. Was verbessert werden kann:

Die Aufgabenstellung zu Beginn klarer formulieren.
Vgl. Aussage zum Schluss von Kind A: "ach, das war die Aufgabe"
Schwierigkeitsgrad des Aufgabenformats anpassen
Bezüglich des Materials:
Dreiecksmuster als Übertragung auf andere Zahlen nutzen (Transfer u. Stützung der Beweisbegründung)
Plättchen nicht umdrehen, sondern hinzufügen bzw. wegnehmen
Formulieren von einfachen Additionsaufgaben (evtl. auch nur als Zusatzmaterial)
Bezüglich der Studierenden:
Deutliches Bestätigen von Aussagen der SuS
Einfordern der Begründungen erhöhen

Literatur

Brunner, Esther (2014): Mathematisches Argumentieren, Begründen und Beweisen. Grundlagen, Befunde und Konzepte. Berlin, Heidelberg: Springer Spektrum (Mathematik im Fokus).
Krumsdorf, Julian (2017): Beispielgebundenes Beweisen. Münster: WTM Verlag
Platz, Melanie (2020): Ein Schema zur kriteriengeleiteten Erstellung und Dokumentation von Lernumgebungen mit Einsatz digitaler Medien. In: Frederik Dilling und Felicitas Pielsticker (Hg.): Mathematische Lehr-Lernprozesse im Kontext digitaler Medien. Empirische Zugänge und theoretische Perspektiven. 1. Auflage 2020. Wiesbaden: Springer Fachmedien Wiesbaden (MINTUS - Beiträge zur mathematisch-naturwissenschaftlichen Bildung), S. 29–56.
PIKAS. 2009.Prozessbezogene und Inhaltsbezogene Kompetenzen & Anregung von fachbezogener Schulentwicklung. Haus 7: Gute Aufgaben. Abgerufen am 30.06.2021. Verfügbar unter:https://pikas.dzlm.de/pikasfiles/uploads/upload/Material/Haus_7_-_Gute__Aufgaben/IM/Informationstexte/IM_ZO_Sachinfo_Gute_Aufgaben.pdf )
Schipper, Wilhelm; Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen, erschienen beim Schroedel Verlag GmbH im Jahr 2009, S. 293ff.
Selter, Chr. (2018). Infopapier: Das Nutzen Matheforscher. Abgerufen über https://pikas.dzlm.de/node/561
Stylianides, Andreasj. (2016): Proving in the Elementary Mathematics Classroom. Oxford: Oxford University Press
Weißhaupt, Steffi; Peucker, Sabine (2009): Entwicklung arithmetischen Vorwissens. In: Annemarie Fritz, Gabi Ricken und Siegbert Schmidt (Hg.): Handbuch Rechenschwäche. Lernwege, Schwierigkeiten und Hilfen bei Dyskalkulie. 2. Auflage, erweitert und aktualisiert. Weinheim und Basel: Beltz (Beltz Pädagogik)

OpenSource4School/Lernumgebungen zum Beweisen in der Primarstufe/Gegensinniges Veraendern

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