Im Rahmen des Seminars "Mathematikdidaktische Forschung: Beweisen in der Primarstufe" an der Universität des Saarlandes (Dozentin: Melanie Platz) und des Seminars "L1M-V-B – Beweisen" der Goethe Universität Frankfurt am Main (Dozentin: Anna-Marietha Vogler) wurden im Sommersemester 2021 Lernumgebungen zum Beweisen im Mathematikunterricht der Primarstufe mit Einsatz digitaler Medien erarbeitet und mit Grundschüler*innen erprobt. Zur Dokumentation und Weitergabe der Lernumgebungsplanungen als Open Educational Ressources haben die Studierenden diese didaktisch reflektiert und in einem Steckbriefformat dokumentiert. Folgende Lernumgebungen wurden im Rahmen des standortübergreifenden Seminars entwickelt:

Rechenketten

Entwickler der Lernumgebung: Annika Leist, Lisa Zimmer

Die erstellte Lernumgebung beinhaltet Aufgaben im produktiven Übungsformat, welche sich auf die Anwendung der Grundrechenarten Addition, Multiplikation und Division beziehen. Durch das produktive Aufgabenformat wird eine Verbindung zwischen formalem und gestütztem Üben hergestellt. Im Zuge des formalen Übens “werden die Aufgaben in der symbolischen Darstellungsform behandelt; beim gestützten Üben hingegen stützen sich die Aufgabenbearbeitungen auf bildliche Darstellungen oder Handlungsmaterial (PIKAS, 2009, S. 1). So werden aus dem konkreten Handeln am Material mentale Vorstellungsbilder generiert (vgl. ebd.). Die Aufgaben der Lernumgebung entsprechen dem strukturierten Üben, da die genutzten Rechenketten in einem strukturellen Zusammenhang zueinanderstehen. So stehen auch “die Lösungswege und die Ergebnisse der einzelnen Aufgaben […] in einem Zusammenhang und können sich gegenseitig unterstützen und korrigieren” (PIKAS, 2009, S. 2). Die Lernumgebung zielt darauf ab, dass die Schüler*innen durch die Arbeit mit Rechenketten zu der Erkenntnis gelangen, dass sich Start- und Zielzahl um 1 unterscheiden, wenn die Operationszahlen identisch sind und die Rechenoperationen Multiplikation, Addition und Division vorliegen. Als investive Arbeitsmittel werden den Schüler*innen ein Malwinkel, ein Hunderter-Punktefeld und Rechenplättchen zur Verfügung gestellt. Zusätzlich erhalten sie konsumtives Material in Form von Arbeitsblättern. Die Lernumgebung ist für den Einsatz in der dritten Klassenstufe konzipiert. Die Bearbeitungsdauer beträgt ca. 90 Minuten. Sind die Schüler*innen bereits mit dem Beweisen und der Verwendung des Malwinkels vertraut kann von einer geringeren Bearbeitungszeit ausgegangen werden. Die Auseinandersetzung mit den Aufgaben der Lernumgebung kann in Einzel-, Partner- oder Gruppenarbeit erfolgen. Die Ergebnisse werden abschließend im Plenum besprochen.

OpenSource4School/Lernumgebungen zum Beweisen in der Primarstufe/Rechenketten

Ziffernkärtchen

Entwickler der Lernumgebung: Hanna Görgen und Julia Simon

Der Beweis zu den Ziffernkarten trägt den Titel „Das Geheimnis der vertauschten Ziffern“. Diesem „Geheimnis“ geht das Kind in dieser für eine dritte Klassenstufe geplanten Lernumgebung in Form eines Einzelinterviews nach – denn ein Forscher entdeckt bei Ausgrabungen eine geheimnisvolle Kiste mit Schriftstücken eines Mathematikers und braucht nun die Hilfe des Kindes, um diese Dokumente zu ergründen.

Die Lernumgebung orientiert sich im Sinne der Gegenwartsbedeutung nach Klafki (1962, S. 16) an dem natürlichen Forscherdrang von Kindern und bietet vor dem Hintergrund der exemplarischen Bedeutung (Klafki, 1962, S. 15) die Möglichkeit, an Aufgaben mit mathematischen Inhalten – hier dem Entdecken des Geheimnisses der vertauschten Ziffern – zu forschen. Auf diese Weise erhält das Kind Einblicke in die Leitidee „Muster und Strukturen“ der Arithmetik (Heckmann & Padberg, 2014, S. 161) und lernt die Mathematik als die „Wissenschaft der Muster“ (Wittmann, 2014, S. 213) kennen. Am Beispiel der Subtraktion von zweistelligen Spiegelzahlen erkennt und durchdringt das Kind also arithmetische Muster und Strukturen, indem es den Zusammenhang zwischen dem Ergebnis der Subtraktion zweier Spiegelzahlen und den Ziffern der Spiegelzahlen herausstellt und daraufhin an einem selbstgewählten Material beweist.

Der Lernumgebung liegt der „Trick“ zugrunde, dass ohne aufwändiges Rechnen das Ergebnis der Subtraktion schnell ermittelt werden kann. Bei der beispielhaften zweistelligen Zahl 63 und ihrer Spiegelzahl 36 beträgt der Unterschied zwischen den Ziffern (Differenz der Stellenwerte) jeweils 3. Multipliziert man die Zahl 3 mit 9 erhält man das Ergebnis der Subtraktion von 63 - 36, nämlich 27. Im Verlauf des Interviews setzt sich das Kind mit zweistelligen Zahlen und deren entsprechenden Spiegelzahlen auseinander, wobei es zur Erkenntnis gelangen kann, dass das Ergebnis der Subtraktion zweier zweistelliger Spiegelzahlen mit unterschiedlichen Ziffern, wie im letzten Abschnitt gezeigt, immer ein Vielfaches von 9 ist. Die ausführliche Argumentation bei zwei beliebigen Spiegelzahlen liefert eine Strategie, wie bei allen übrigen zweistelligen Spiegelzahlen vorgegangen werden kann, um auf diese Weise die Gültigkeit für alle zweistellige Spiegelzahlen zu zeigen.

Als Materialien kommen neben den für den Beweis grundlegenden Ziffernkärtchen, mit welchen die Subtraktionsaufgaben gebildet werden, die Hundertertafel oder die Stellentafel, an der der "Trick" anschaulich bewiesen werden kann, zum Einsatz. Als Unterstützungsmaßnahmen stehen darüber hinaus unter anderem ein Wortspeicher mit wichtigen Begriffen oder Satzanfänge zur Erleichterung vom Artikulieren von Entdeckungen bereit.

OpenSource4School/Lernumgebungen zum Beweisen in der Primarstufe/Ziffernkaertchen

Parkettierung

Entwickler der Lernumgebung: Kerstin Niklos und Marion Stolz

Im Rahmen der substantiellen Lernumgebung setzen sich die Schülerinnen und Schüler intensiv mit einem Beweis auseinander. Dabei werden einerseits die allgemein- mathematischen Kompetenzen Problemlösen, Kommunizieren und Argumentieren gefördert. Andererseits bezieht sich die Lernumgebung konkret auf inhaltliche Kompetenzen aus den Bereichen Raum und Form sowie Muster und Strukturen.

Bezogen auf den saarländischen Kernlehrplan im Fach Mathematik geht es um die Aspekte “Flächen- und Rauminhalte vergleichen und messen” sowie “Flächeninhalte durch Auslegen mit Einheitsflächen messen”. Nicht zuletzt wird natürlich der Aspekt “Parkettieren” näher betrachtet.

Ziel der Lernumgebung ist es, dass die Schülerinnen und Schüler ihre Fertigkeiten und Fähigkeiten in den Bereichen Beweisen und Begründen erweitern. Sie finden dabei heraus, dass eine lückenlose Parkettierung mit regelmäßigen Dreiecken, Vierecken oder Sechsecken möglich ist und begründen dies schließlich mit der Innenwinkelsumme. Damit ein lückenloses Parkett mit den ausgewählten n- Ecken entstehen kann, muss die Innenwinkelsumme ein Teiler oder Vielfaches von 360° sein. Die Schülerinnen und Schüler setzen sich intensiv mit verschiedenen n- Ecken auseinander und parkettieren damit eine Fläche lückenlos. Darüber hinaus bestimmen sie verschiedene Winkel mit Hilfe eines Geodreiecks und bilden daraus die entsprechende Winkelsumme.

Neben dem Geodreieck stehen den Schülerinnen und Schülern Papier, Schere, Kleber und vorgefertigte n- Ecken aus Karton zur Verfügung.

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Malkreuz

Entwickler der Lernumgebung: Sarina Renoth und Sarah Stummer

Das mathematische Beweisen findet im schulischen Kontext in der Regel in höheren Klassenstufen auf formaler Ebene statt, wobei der ausschließlich formale Zugang häufig mit mangelnder Nachvollziehbarkeit der mathematischen Handlungen verbunden ist. Als Vorstufe des formalen Beweisens in den weiterführenden Schulen beschäftigt sich diese Lernumgebung mit dem präformalen Beweisen, welches bereits in der Primarstufe umgesetzt werden kann. Dabei können die Schülerinnen und Schüler erste positive Erfahrungen und Erfolgserlebnisse mit dem mathematischen Beweisen sammeln und diese Erfahrungen in höheren Klassenstufen im Sinne des Spiralcurriculums entsprechend nutzen und erweitern.

Üblicherweise wird das Malkreuz in der Primarstufe als halbschriftliche Rechenstrategie eingeführt, ohne dass deren Gültigkeit hinterfragt bzw. der mathematische Hintergrund hergeleitet wird. In dieser Lernumgebung können die Schülerinnen und Schüler den mathematischen Hintergrund des Malkreuzes und damit das Distributivgesetz als allgemeingültiges Gesetz nachvollziehen wobei gleichermaßen auch das Hinterfragen mathematischer Aussagen angeregt und das Verständnis für mathematische Inhalte und Zusammenhänge gefördert wird. In der Lernumgebung kommen sowohl analoge als auch digitale Arbeitsmaterialien zum Einsatz. Während sich die Schülerinnen und Schüler ausgehend von einem vorgefertigten Malkreuz den mathematischen Hintergrund des Malkreuzes am analogen 400er Punktefeld unter Hinzunahme weiterer Materialien (Malwinkel, Buntstifte, Holzspieße als „Kreuz“) erarbeiten, findet mithilfe der Website „Partial Product Finder“ eine Generalisierung statt, wobei die Gültigkeit des Distributivgesetzes erkannt wird. Die Aktivitäten am digitalen Material werden von den Schülerinnen und Schülern wiederum in vorgefertigte analoge Malkreuz-Vorlagen übertragen. Für das Anfertigen von Notizen oder Skizzen stehen weiße Blätter ohne Lineatur bzw. Karomuster zur Verfügung.

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Gegensinniges Verändern

Entwickler der Lernumgebung: Joschka Bauer, Elisa-Marie Ligensa, Kira Zimmer

Ziel der Lernumgebung ist es, einen Beweis zur Konstanz der Summe beim gegensinnigen Verändern von zwei Schüler:Innen in Tandemarbeit durchführen zu lassen. Bewiesen werden soll, dass für alle natürlichen Zahlen gilt, dass sich der Wert einer Summe nicht ändert, wenn ihre Summanden gegensinnig so verändert werden, dass die Differenz der Veränderung 0 beträgt. Dabei wird die Konstanz der Summe über die Zahlzerlegung erarbeitet. Die Förderung des Zahlverständnisses, hier im Besonderen des Teil-Ganze-Verständnisses, sowie der Argumentations- und Kommunikationskompetenz , durch die kooperative Bearbeitung der Aufgabenstellungen, liegt der Lernumgebung als didaktische Motivation zugrunde.

Die Lernumgebung ist kleinschrittig strukturiert und geschlossen konzipiert, kann aber je nach Kompetenzen der Schüler:Innen weiter geöffnet werden.

Als Arbeitsmittel werden Wendeplättchen und Würfelbecher eingesetzt. Zur affektiven Aktivierung und Lenkung durch den Beweis wird von den Schüler:Innen ein Entdeckerheft geführt.

Zur Durchführung der Lernumgebung wird, je nach Leistungsniveau der Klasse, eine Unterrichtseinheit von 45-90 Minuten benötigt.

OpenSource4School/Lernumgebungen zum Beweisen in der Primarstufe/Gegensinniges Veraendern

Gauß'sche Summenformel

Entwickler der Lernumgebung: Silke Holz, Nicole Maas, Franziska Krämer

Die didaktische Motivation der Lernumgebung besteht darin, Grundlagen für das formale Beweisen in der weiterführenden Schule zu schaffen und Begründungen für mathematische Regelmäßigkeiten möglichst eigenständig zu finden. Dabei verfolgen die Schülerinnen und Schüler das Ziel, durch elaborierendes Lernen eine oder mehrere mathematische Gesetzmäßigkeiten zu entdecken. Markante Eckpunkte hierbei sind die Erkenntnis der Paarbildung beziehungsweise der Verdopplung der Zahlenreihe in umgekehrter Reihenfolge und die spätere Halbierung. Als Arbeitsmittel und Medien stehen ein Arbeitsblatt mit Aufgabenstellung, Papier (leere Blätter), Stifte in verschiedenen Farben, Wendeplättchen, Zahlkarten, Zahlkarten mit Punkten, Zahlenstrahl, Zahlenstreifen, Zehner-/ Zwanziger- /Hunderterfeld (je nach Abhängigkeit des vorgegebenen Zahlenraumes), Wendeplättchen-App sowie Smartphone, Tablet oder PC zur Verfügung.

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Zahlsystembeweis

Entwickler der Lernumgebung: Gifse Ciftci, Katharina Fuchs, Jana Hannecke, Jill Hein

Mithilfe dieser Lernumgebung sollen Kinder selbstständig einen mathematischen Beweis durchführen können. Zudem liegt die Idee zugrunde, die Aufmerksamkeit und Neugierde für ein mathematisch gehaltvolles Thema zu wecken. Durch die Lernumgebung werden die Kinder schrittweise an das Beweisen herangeführt und die Zusammenhänge können sukzessive erschlossen werden. Aufgrund der Komplexität des arithmetischen Zahlsystembeweises liegt die didaktische Motivation vor allem darin, den Aufbau des dezimalen Stellenwertsystems, die Zahlzerlegung und die Bündelung der Zahlen durch 3 und 5 für die Schülerinnen und Schüler greifbar zu machen und die Beziehungen dazwischen zu verdeutlichen.

Das Ziel der Lernumgebung besteht darin, dass die SuS durch das Abenteuer von Lina und Juri im Fantasiezahlenland den Zahlsystembeweis durchdringen. Dieser besagt, dass sich alle natürlichen Zahlen größer als 7 nur aus den Summanden 3 und 5 (in unterschiedlicher Anzahl) bilden lassen. Dafür steht ihnen vielfältiges Material zur Verfügung. Zugrundeliegend sollen die SuS verstehen, dass sie nicht für jede Zahl erneut beweisen müssen, dass die Bündelung mit 3 und 5 möglich ist, da es sich bei höheren Zahlen um Zusammensetzungen der in den Aufgaben bearbeiteten Zahlen handelt. Neben den inhaltlichen Eckpunkten zeichnet sich die Lernumgebung durch die thematische und funktionale Einbettung sowie die Begleitung durch Identifikationsfiguren aus.

In der Lernumgebung werden außerdem verschiedene Arbeitsmittel und Medien verwendet, um den Beweis durchzuführen. Zunächst wird über eine Geschichte in Briefform das Problem eingeleitet. Um den Kindern die verschiedenen Situationen und Stationen an der Lernumgebung zu verdeutlichen, wurden diese als Textkarten gestaltet, die durchgehend für die Kinder präsent bleiben. Anhand von differenzierten Arbeitsblättern werden verschiedene Zugänge ermöglicht. Auch die vorliegenden Bilder, Figuren und Münzen wurden selbst erstellt. Zum Abschluss wird als digitales Medium ein Smartphone eingesetzt, das dazu genutzt wird, über eine Sprachnachricht die wichtigsten Erkenntnisse bezüglich des Beweises noch einmal zusammenzufassen.

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Anzahl der Nullen von 100!

Entwickler der Lernumgebung: Katrin Kirsch, Elisa Sophie Munkes, Nicole Loos

In der Lernumgebung „Der Zaubertrick mit den Nullen“ zum Thema „Anzahl der Nullen von 100!“ lernen Schülerinnen und Schüler wie man die Anzahl von Endnullen bei Ergebnissen verschiedener Fakultäten ermitteln kann. So sind sie nach der Durchführung in der Lage, zu beweisen, dass das Ergebnis von 20! genau 4 Endnullen, beziehungsweise das Ergebnis von 100! genau 24 Endnullen aufweist. Um die Schülerinnen und Schüler für die unbekannte Thematik zu motivieren, wird es als Zaubertrick vorgestellt und zeichnet sich insgesamt durch einen Knobelcharakter aus.

Da die Lernumgebung am Ende der Grundschule (ab Klasse 3) eingesetzt werden kann, findet die Hinführung über kleinschrittige Aufgaben mit kleineren Fakultäten statt und wird durch das Multiplikationsbrett unterstützt.

Die Schülerinnen und Schüler erwerben vor allem Kompetenzen im Bereich des Problemlösens und Argumentierens, festigen aber gleichzeitig auch das Verständnis der Multiplikation.

OpenSource4School/Lernumgebungen zum Beweisen in der Primarstufe/Anzahl der Nullen von 100!

Satz des Pythagoras

Entwickler der Lernumgebung: Julia Huppert, Jessica Masuhr, Sarah Becker, Christina Berndt

Zunächst erfolgt im Rahmen der Lernumgebung die Einführung der Sagengestalt des Pythagoras. Daran anknüpfend wird den Lernenden die Rolle des Lehrlings des Pythagoras übergeben. Pythagoras stellt anschließend die grundlegende Aufgabe der Lernumgebung. In diesem Zusammenhang werden verschiedene rechtwinklige Dreiecke sowie das entsprechende Hypoteusen- bzw. die Kathetenquadrate in einem vorgegebenen Rahmen zusammengefügt. Analog wird mit nicht rechtwinkligen Dreiecken verfahren. Zuletzt werden diesbezüglich die Unterschiede der Durchführungen zwischen allgemeinen und rechtwinkligen Dreiecken herausgearbeitet sowie eine Verallgemeinerung formuliert.

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