OpenSource4School/Lernumgebungen zum Beweisen in der Primarstufe/Parkettierung

Formale Aspekte

Namen der Verfasser der Lernumgebungsdokumentation

Kerstin Niklos und Marion Stolz

E-Mail-Adressen und Datum

s8magrel@stud.uni-saarland.de

s8kenikl@stud.uni-saarland.de

Datum der Einreichung: 01.09.2021 Sommersemester 2021

Inhaltsaspekte

Name der Lernumgebung

"Das Problem von Fliesenleger Fred" - Die lückenlose Parkettierung mit n- Ecken

Kurzbeschreibung der Lernumgebung

Im Rahmen der substantiellen Lernumgebung setzen sich die Schülerinnen und Schüler intensiv mit einem Beweis auseinander. Dabei werden einerseits die allgemein- mathematischen Kompetenzen Problemlösen, Kommunizieren und Argumentieren gefördert. Andererseits bezieht sich die Lernumgebung konkret auf inhaltliche Kompetenzen aus den Bereichen Raum und Form sowie Muster und Strukturen.

Bezogen auf den saarländischen Kernlehrplan im Fach Mathematik geht es um die Aspekte “Flächen- und Rauminhalte vergleichen und messen” sowie “Flächeninhalte durch Auslegen mit Einheitsflächen messen”. Nicht zuletzt wird natürlich der Aspekt “Parkettieren” näher betrachtet.

Ziel der Lernumgebung ist es, dass die Schülerinnen und Schüler ihre Fertigkeiten und Fähigkeiten in den Bereichen Beweisen und Begründen erweitern. Sie finden dabei heraus, dass eine lückenlose Parkettierung mit regelmäßigen Dreiecken, Vierecken oder Sechsecken möglich ist und begründen dies schließlich mit der Innenwinkelsumme. Damit ein lückenloses Parkett mit den ausgewählten n- Ecken entstehen kann, muss die Innenwinkelsumme ein Teiler oder Vielfaches von 360° sein. Die Schülerinnen und Schüler setzen sich intensiv mit verschiedenen n- Ecken auseinander und parkettieren damit eine Fläche lückenlos. Darüber hinaus bestimmen sie verschiedene Winkel mit Hilfe eines Geodreiecks und bilden daraus die entsprechende Winkelsumme.

Neben dem Geodreieck stehen den Schülerinnen und Schülern Papier, Schere, Kleber und vorgefertigte n- Ecken aus Karton zur Verfügung.

Ungefährer Zeitbedarf zur Durchführung

Für die Durchführung der Lerneinheit sind 45 Minuten vorgesehen.

Im weiteren Verlauf kann die Lernumgebung auf weitere Unterrichtsstunden ausgeweitet werden. Hier könnten dann neben platonischen Parkettierungen auch archimedische Parkettierungen betrachtet werden.

Adressaten der Lernumgebung

Die Lernumgebung wurde für Schülerinnen und Schüler der Klassenstufe 4 konzipiert.

Die Van Hiele Niveaustufe 2 analysierend-beschreibendes Denken (vgl. Franke & Reinhold, 2016; S. 136 ff.) sollte mindestens erreicht sein, da den Lernenden verschiedene geometrische Objekte bereits bekannt sein sollen. Darüber hinaus sollten auch die Eigenschaften der vorliegenden geometrischen Figuren bekannt sein und von den Schülerinnen und Schülern benannt werden können.

Die Erprobung der Lernumgebung erfolgte allerdings in einer 7. Klasse einer Förderschule, da diese den Kommilitoninnen aus Frankfurt bereits vertraut und bekannt war.

Es ist nicht vorgesehen, dass ausschließlich Schülerinnen und Schüler mit speziellen Fähigkeiten oder Vorkenntnissen an der Lernumgebung teilnehmen. Grundsätzlich ist die Lernumgebung mit allen Kindern ab der vierten Klassenstufe durchführbar.

Zentrale Aufgabestellungen und Arbeitsaufträge

Zum Einstieg in die Lernumgebung werden den Schülerinnen und Schülern Bilder von parkettierten Böden gezeigt. Dabei handelt es sich um archimedische Parkettierungen. Die Lernenden äußern sich zu den Abbildungen und aktivieren so ihr Vorwissen. Mit dem Einstieg wird bereits auf den thematischen Inhalt der Unterrichtsstunde verwiesen.

An dieser Stelle wäre es möglicherweise sinnvoller und passender gewesen, den Lernenden Bilder mit platonischen Parkettierungen zu präsentieren. Schließlich werden diese im Rahmen der substantiellen Lernumgebung auch näher betrachtet. Die Auswahl von archimedischen Parketten könnte im weiteren Verlauf zu Schwierigkeiten führen und die Schülerinnen und Schüler verwirren.

Schließlich erfahren die Schülerinnen und Schüler, um welche konkrete Problemstellung es sich in der substanziellen Lernumgebung handelt.

“Fliesenleger Fred bekommt von Familie Viereck den Auftrag, ihre Küche mit quadratischen Fliesen auszulegen. Familie Dreieck wünscht sich dreieckige Fliesen und Familie Sechseck möchte Fliesen in Form eines Sechsecks. Finde heraus, ob Fliesenleger Fred die Räume mit den bestellten Fliesen lückenlos auslegen kann.”

Fliesenleger Fred begleitet die Schülerinnen und Schüler bei ihren Entdeckungen im Rahmen der Lernumgebung. Fliesenleger Fred gilt dabei als Motivationsfigur und fordert die Lernenden zu einer kritischen Auseinandersetzung mit dem Lerngegenstand heraus.

“Könnte Familie Fünfeck ihre Küche mit fünfeckigen Fliesen parkettieren?”

Technische Voraussetzungen

Auf den Einsatz digitaler Medien wird in der Lernumgebung verzichtet, da analoge Medien (Schablonen aus Pappe) in diesem Beispiel gezielt zur Erarbeitung als “Fliesenleger” eingesetzt werden. Diese müssen im Vorfeld ausgeschnitten werden.

In der Lernumgebung würde eine App o.Ä. nur das Analoge ersetzen und keine weiteren Möglichkeiten bieten, die zur Erkenntnis führen.

Mathematischer Gehalt der Lernumgebung

Mathematische Analyse

Voraussetzungen:

Kenntnisse über n-Ecken und dass auch nicht gleichmäßige Formen dazu gehören. Beispiel Drachen, Trapez

Zielführender Umgang mit einem Geodreieck, um die verschiedenen Winkel zu bestimmen

Während der Bearbeitung lernen die Schülerinnen und Schüler, die bereits vorhandenen Kenntnisse in einen Zusammenhang zu bringen. Dies ist notwendig, um den Beweis zu führen. Die Schülerinnen und Schüler sammeln während der Bearbeitung neue Kenntnisse über die Zusammensetzung und Bedeutung der Innenwinkelsumme.

Idealerweise finden die Schülerinnen und Schüler heraus, dass die Innenwinkelsumme beispielsweise im Dreieck 180 °, und im Quadrat 360 ° ist. Ziel der Beweisführung ist es, eine allgemeingültige Aussage zu treffen, mit welchen Figuren eine lückenlose Parkettierung möglich ist.

Anhand der einzelnen Versuche (induktiv) soll allgemeingültig (deduktive Schlussweise) festgehalten werden: Alle ebenen Figuren deren Innenwinkelsumme Vielfaches oder Teiler von 360° ist, eigenen sich zur lückenlosen Parkettierung.

Mathematikdidaktischer Gehalt der Lernumgebung

Didaktische Analyse

Die Vorgehensweise ist angelehnt an Bezold, 2009

Voraussetzung: Entdeckung von mathematischen Besonderheiten (Abduktion).

Die Schülerinnen und Schüler setzen sich mit lückenlosen Parkettierungen auseinander und entdecken deren Besonderheiten.

Schritt 1: Beschreiben von Entdeckungen.

Die Schülerinnen und Schüler legen eine Fläche mit den bereitgestellten Materialien aus. Dabei wird immer nur eine Art von Material genutzt. Es entsteht also ein platonisches Parkett. Je nach gewähltem Material ist dies möglich (Dreieck, Viereck, Sechseck) oder auch nicht (Fünfeck, Achteck).

Die Entdeckungen werden von den Schülerinnen und Schülern mündlich beschrieben.

Schritt 2: Hinterfragen von Entdeckungen (Induktion).

Warum kann man die Fläche mit Dreiecken, Vierecken oder Sechsecken lückenlos parkettieren, mit Achtecken oder Fünfecken aber nicht?

Schritt 3: Finden von Begründungen bzw. Begründungsideen mathematischer Gesetzmäßigkeiten und Zusammenhängen (Deduktion).'

Die Schülerinnen und Schüler greifen auf die Besonderheiten lückenloser Parkettierungen zurück und begründen das Funktionieren mit der Innenwinkelsumme der gelegten n-Ecken.

„Gute“ Aufgaben & Differenzierung

Die folgenden Kriterien “guter” Aufgaben nach Krauthausen & Scherer (2019) werden erfüllt:

- sind herausfordernd auf unterschiedlichem Anspruchsniveau

Die Schülerinnen und Schüler können zwischen unterschiedlichen n- Ecken wählen, um eine ebene Fläche lückenlos zu parkettieren. Mit n- Ecken, die den Schülerinnen und Schülern bereits gut bekannt sind (Dreiecke, Vierecke) ist dies sicherlich leichter.

- fordern und fördern inhalts- und prozessbezogene sowie übergreifende Kompetenzen

Es werden die allgemein- mathematischen Kompetenzen Problemlösen, Argumentieren und Kommunizieren gefordert. Die Schülerinnen und Schüler entdecken beim Parkettieren eigene Lösungswege und tauschen sich mit ihren Mitschülern darüber aus. Die Lernenden erweitern ihre Fertigkeiten in den Bereichen Beweisen und Begründen, indem sie beispielsweise ihre Herangehensweise darlegen und rechtfertigen. Im Rahmen des kommunikativen Austauschs streben die Lernenden ein erstes Verständnis für einen allgemeingültigen Beweis an.

Die inhaltlichen Kompetenzen beziehen sich auf die Bereiche Raum und Form sowie Muster und Strukturen. Zum einen durch die Betrachtung der einzelnen ebenen Figuren und deren Eigenschaften (Innenwinkel) sowie deren lückenlose Zusammensetzung im Bereich Muster und Strukturen (Parkettierung).

- knüpfen an Vorwissen an und bauen das zu erwerbende Wissen kumulativ (vernetzt) auf. Bereits zuvor werden im Bereich Geometrie die einzelnen ebenen Figuren thematisiert und auf deren Eigenschaften eingegangen, die für weitere Einheiten als Grundlage dienen. Aufbauend auf diesem Vorwissen können komplexere Aufgaben in höheren Klassenstufen verstanden und bewältigt werden.

- sind in sinnstiftende Kontexte eingebunden

Der Kontext ist kindgerecht konstruiert und den SuS aus der Lebenswelt bekannt. Durch die Lernumgebung schärft sich ihr Blick für geometrische Formen und Strukturen im Alltag. Sie erkennen, dass Mathematik nicht nur ein Schulfach ist, sondern ihnen auch in der Umwelt regelmäßig begegnet. So spiegeln sich beispielsweise geometrische Figuren in Straßenschildern wider oder kunstvolle Parkettierungen in Fliesen oder Teppichen. Die Mathematik wird von den Lernenden als “Wissenschaft der Muster” wahrgenommen (vgl. Wittmann, 2003)

- sind vielfältig in den Lösungsstrategien und Darstellungsform

Die SuS können die Fläche auf verschiedene Weisen parkettieren und selbständig Entdeckungen machen. Neben dem Auslegen mit den bereitgestellten Materialien wäre auch eine zeichnerische Lösung möglich. Dennoch ist die Lernumgebung im Vergleich zu anderen bezüglich der Lösungsstrategien und Darstellungsformen eher eingeschränkt.

- stärken das Könnensbewusstsein durch erfolgreiches Bearbeiten

(MSW 2008b, s.13f.) Jedes Kind hat in der Lernumgebung die Möglichkeit ein individuelles Ergebnis bzw. Legemuster zu erarbeiten. Durch eigenes Handeln können Stärken der Lernenden hervorgehoben werden und zum Verständnis beitragen.

Bei der Art der Differenzierung handelt es sich um eine natürliche Differenzierung (Krauthausen & Scherer 2019), da sich jedes Kind auf seinem eigenen Niveau der Thematik nähert und auch im eigenen Tempo seine Möglichkeiten ausprobiert und so Erkenntnisse konstruiert.

Artikulation, Kommunikation, Soziale Organisation

Die Lehrperson kommt zunächst mit dem Schüler/der Schülerin über die Problemstellung ins Gespräch. Daraufhin kann das Kind mit dem bereitgestellten Material erste eigene Handlungen ausführen und sich so der Lösung des Problems nähern. Dabei werden die Lösungsansätze der Lernenden meist verbalisiert. Es erfolgt eine intensive Kommunikation über die Erkenntnisse mit der Lehrperson sowie mit anderen Lernenden. Je nach Belieben ist es auch möglich, individuell gemachte Erkenntnisse schriftlich festzuhalten.

Raum zum Gestalten ist gegeben, weil der Lernende zunächst selbst mit dem bereitgestellten Material eine Parkettierung legen kann. Die gelegten Parkettierungen können für den weiteren Verlauf der Einheit beibehalten werden (= Raum zum Behalten). Für die Schülerinnen und Schüler besteht die Möglichkeit, die gelegten Parkette auf einem Blatt Papier festzukleben. Somit ist ein Weiterarbeiten mit diesen gut möglich, ohne dass die einzelnen Teile verrutschen.

Bezüglich der Sozialform ist die Lernumgebung sehr flexibel. Sie kann sowohl mit einem einzelnen Kind durchgeführt werden als auch mit einer Gruppe von Schülerinnen und Schülern.

Die Erkenntnisse der Lernenden werden nochmal gemeinsam reflektiert und zusammengefasst. Zur Ergebnissicherung wird ein Arbeitsblatt genutzt, auf dem noch einmal die Merkmale von Parkettierungen schriftlich festgehalten werden.

Impulse / Fragen (siehe auch Transkript der Studierenden aus Frankfurt)

“Was fällt dir auf?” (Bilder zum Einstieg)

“Funktioniert das immer?”

“Funktioniert es mit allen Vierecken, Dreiecken, usw.?”

Potenzial des Einsatzes (digitaler) Medien

Legeformen aus Pappe (wiederverwendbar)

Zum Einstieg wird von einem Fliesenleger berichtet, der einen Raum mit Fliesen auslegen soll. Dazu werden den Schülerinnen und Schülern verschiedene Bilder parkettierter Flächen gezeigt. Die Parkette weisen unterschiedliche geometrische Formen auf. Die Kinder können so eine Vorstellung entwickeln und sich besser vorstellen, was Thema der Stunde sein wird. Anhand der gezeigten Bilder werden im Plenum die Merkmale von Parkettierungen besprochen (Ecke an einer Ecke, Seite an einer Seite, es gibt keine Lücken, es gibt keine Überlappungen, Innenwinkel 360°)

Die Erprobung fand ohne die Nutzung von Arbeitsblättern statt, obwohl diese vorgesehen waren (siehe Anhang)

Das Material liegt für die Schülerinnen und Schüler zu Beginn der Erprobung bereit.

Vorteil: Das Material ist direkt verfügbar. Es wird keine Zeit für das Austeilen in Anspruch genommen.

Nachteil: Die Schülerinnen und Schüler beschäftigen sich mit dem Material, legen Muster und konzentrieren sich nicht auf den gemeinsamen Einstieg.

Die Arbeitsmittel werden zunächst zur Anschauung eingesetzt und zur Untersuchung in der Handlung, um Eigenschaften zu erkennen und auf andere Materialien zu übertragen (vgl. Operatives Prinzip vgl. Literatur: Krauthausen. 2018, S. 232) Später dient das Arbeitsmittel auch dem Argumentieren und Beweisen am Material.

Der Einsatz von Arbeitsmittel und Medien stellt eine zentrale Rolle in der Handlung an konkreten Objekten dar. (vgl. Krauthausen, 2018, S. 232).

Gütekriterien für Arbeitsmittel und Veranschaulichung nach Krauthausen (2018, S. 334):

Die mathematische Grundidee des Parkettierens wird angemessen verkörpert, durch Legeschablonen zum Ausprobieren.

Charakteristisch für die Parkettierung ist die strukturgleiche Fortsetzung, was mit dem Material anschaulich gelegt und fortgeführt werden kann.

Der Einsatz des Arbeitsmittels bietet auch unterschiedliche Arbeits- und Sozialformen. Es kann in Einzel-, Partner- oder Gruppenarbeit eingesetzt werden.

Die unterschiedlichen Farben bieten eine ästhetische Qualität des Arbeitsmittels.

Da für die Lernumgebung lediglich verschiedene Schablonen von n-Ecken hergestellt werden, stimmt das Preis-Leistungsverhältnis. Im Sinne der Nachhaltigkeit können die Figuren auch häufiger verwendet werden. Die Materialien können schnell und günstig selbst erstellt werden.

Insgesamt ist die Zuwendung von Lehrpersonen zu Beginn für den Einstieg und die Problemstellung notwendig. Die Erarbeitung an Gruppentischen oder in Partnerarbeit ermöglicht den Austausch und die Kooperation unter den Schülerinnen und Schülern, und erlaubt das Zurückhalten der Lehrpersonen.

Evaluation

Schülerinnen und Schüler können mit Hilfe der Materialien Skizzen anfertigen und Winkel einzeichnen, die sie auf die Gemeinsamkeiten und Unterschiede der ebenen Figuren hinweisen und zum Beweisen helfen.

Förderimpulse können auf die Erarbeitung der Innenwinkelsumme hinweisen, welche der Lernumgebung vorausging. Dies konnte in der Erprobung jedoch nicht identifiziert werden.

Schülererkenntnis wurden deutlich: “ein Viereck besteht aus zwei Dreiecken, deshalb geht es”.

Gruppentische bieten die Möglichkeit gemeinsam zu interagieren und dienen dem gemeinsamen Austausch und sozialen Lernen.

Vernetzung mit anderen Lernumgebungen

Die Lernumgebung bietet die Möglichkeit von Wahrscheinlichkeitsaussagen bis zum deduktiven Schließen vorzudringen. (vgl. Fischer & Malle 2004)

Weiterführende Aufgabenstellungen: Kannst du weitere geometrische Figuren finden, die es ermöglichen eine Fläche lückenlos zu parkettieren? Woran liegt es? Probiere auch mit unterschiedlichen Formen aus (archimedisch).

Im Voraus sollte Innenwinkel und Summe behandelt werden.

Die Lernumgebung zeigt Beziehungen zu verschiedenen Bereichen im Mathematikunterricht wie: Verschiebungen und Spiegelungen, Bandornamente, aber auch die Parkettierung mit der Knabbertechnik.

Man könnte die Kunstwerke von Escher thematisieren, Mosaike herstellen im Kunstunterricht, in Religion beim Besuch eines außerschulischen Lernortes auf den Boden in einer Kirche verweisen oder auf die Architektur.

Jedem Kind sind Bodenbeläge und Fliesen aus dem Alltag bekannt. Verweis auf Punkt gute Aufgaben “Mathematik als Wissenschaft von Mustern” (Wittmann, 2003).

Reflexion der Lernumgebung

Fehlende Kenntnis der Eigenschaften von geometrischen ebenen Figuren sowie die Bestimmung von Innenwinkel und deren Summe. Es könnte auch zur Verwirrung führen, durch den Einsatz verschiedener Bildimpulse die unterschiedliche Parkettierungen zeigen.

Mit einer größeren Gruppe ist die Durchführung prinzipiell ebenfalls möglich, lässt jedoch weniger Möglichkeiten direkt und detailliert auf die Äußerungen von Schülerinnen und Schülern einzugehen. Auch sollte die Lernumgebung erst eingesetzt werden, wenn bereits ein Verständnis von Verallgemeinerungen und Zusammenhängen von geometrischen, ebenen Figuren vorhanden ist. Ansonsten werden die Schülerinnen und Schüler auf der Stufe des Begründens stehen bleiben.

Nach der Durchführung

Daten zur Durchführung

Die Erprobung erfolgte am Donnerstag, den 08.07.21 mit Schülerinnen und Schülern der 7. Klassenstufe einer Förderschule. Die Erprobung wurde von einer Kommilitonin der Universität Frankfurt durchgeführt.

Schülerdokumente

Im Rahmen der Lernumgebung kam kein Arbeitsblatt zum Einsatz. Die Ergebnissicherung erfolgte in mündlicher Form. Darüber hinaus konnten die Schülerinnen und Schüler ihre Ergebnisse mit Hilfe der bereitgestellten Materialien veranschaulichen.

Reflexion

Die Erprobung zeigte eher ein Begründen anhand von einzelnen ebenen Figuren und weniger eine Verallgemeinerung und formal-deduktives Beweisen.

Die Erprobung fand ohne den Einsatz eines Arbeitsblattes statt. Wir erachten es jedoch als sinnvoll, dass ein Arbeitsblatt zum Einsatz kommt, auf dem die wichtigsten Erkenntnisse der Unterrichtsstunde schriftlich fixiert werden. Dazu gehören beispielsweise die typischen Merkmale platonischer Parkettierungen oder das Bilden der Innenwinkelsumme.

Literatur

Bezold, A. (2009). Förderung von Argumentationskompetenzen durch selbstdifferenzierende Lernangebote. Hamburg: Dr. Kovač.

Fischer, R. & Malle, G. (2004). Mensch und Mathematik: Eine Einführung in didaktisches Denken und Handeln (Klagenfurter Beiträge zur Didaktik der Mathematik). Zürich: Profil Verlag.

Franke, M. & Reinhold, S. (2016). Didaktik der Geometrie in der Grundschule (3. Auflage). Berlin: Springer Spektrum

Krauthausen, G. (2018). Einführung in die Mathematikdidaktik- Grundschule (4. Auflage). Berlin: Springer Spektrum.

Krauthausen, G. & Scherer, P. (2019). Natürliche Differenzierung im Mathematikunterricht. Konzepte und Praxisbeispiele aus der Grundschule (3. Auflage). Seelze: Kallmeyer

Kultusministerkonferenz (2005). Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich. Verfügbar unter: www.kmk.org/fileadmin/veroeffentlichungen_beschluesse/2004/2004_10_15- Bildungsstandards-Mathe-Primar.pdf. Zugriff: 24.08.2021

Ministerium für Bildung, Familie, Frauen und Kultur (2009). Kernlehrplan Mathematik Grundschule Saarland. Verfügbar unter: https://www.saarland.de/SharedDocs/Downloads/DE/mbk/Lehrplaene/Lehrplaene_Grundschule/GS_Kernlehrplan_Mathematik.pdf?__blob=publicationFile&v=2 Zugriff: 24.08.2021

MSW (2008). Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Hg) Richtlinien und Lehrpläne für die Grundschulen in Landes Nordrhein-Westfalen. Düsseldorf.

Wittmann, E. Ch. (2003). Was ist Mathematik und welche Bedeutung hat das wohlverstandene Fach auch für den Mathematikunterricht der Grundschule. Ein Arbeitsbuch: Seelze: Kallmeyer. S. 18-48.