OpenSource4School/Lernumgebungen zum Beweisen in der Primarstufe/Zahlsystembeweis

Formale Aspekte

Namen der Verfasser der Lernumgebungsdokumentation

• Gifse Ciftci
• Katharina Fuchs
• Jana Hannecke
• Jill Hein

E-Mail-Adressen und Datum

• s8gicift@stud.uni-saarland.de
• s8kafuch@stud.uni-saarland.de
• s8jahann@stud.uni-saarland.de
• s8jlhein@stud.uni-saarland.de
• Sommersemester 2021

Inhaltsaspekte

Name der Lernumgebung

Der Name der im Folgenden im Detail beschriebenen substanziellen Lernumgebung lautet: „Juri und Lina im Fantasiezahlenland - Entwicklung einer mathematischen Lernumgebung zum Zahlsystembeweis”.

Kurzbeschreibung der Lernumgebung

Mithilfe dieser Lernumgebung sollen Kinder selbstständig einen mathematischen Beweis durchführen können. Zudem liegt die Idee zugrunde, die Aufmerksamkeit und Neugierde für ein mathematisch gehaltvolles Thema zu wecken. Durch die Lernumgebung werden die Kinder schrittweise an das Beweisen herangeführt und die Zusammenhänge können sukzessive erschlossen werden. Aufgrund der Komplexität des arithmetischen Zahlsystembeweises liegt die didaktische Motivation vor allem darin, den Aufbau des dezimalen Stellenwertsystems, die Zahlzerlegung und die Bündelung der Zahlen durch 3 und 5 für die Schülerinnen und Schüler (im Folgenden: SuS) greifbar zu machen und die Beziehungen dazwischen zu verdeutlichen.

Das Ziel der Lernumgebung besteht darin, dass die SuS durch das Abenteuer von Lina und Juri im Fantasiezahlenland den Zahlsystembeweis durchdringen. Dieser besagt, dass sich alle natürlichen Zahlen größer als 7 nur aus den Summanden 3 und 5 (in unterschiedlicher Anzahl) bilden lassen. Dafür steht ihnen vielfältiges Material (s. „Zentrale Aufgabenstellungen und Arbeitsaufträge in der Lernumgebung”) zur Verfügung. Zugrundeliegend sollen die SuS verstehen, dass sie nicht für jede Zahl erneut beweisen müssen, dass die Bündelung mit 3 und 5 möglich ist, da es sich bei höheren Zahlen um Zusammensetzungen der in den Aufgaben bearbeiteten Zahlen handelt. Neben den inhaltlichen Eckpunkten zeichnet sich die Lernumgebung durch die thematische und funktionale Einbettung sowie die Begleitung durch Identifikationsfiguren aus.

In der Lernumgebung werden außerdem verschiedene Arbeitsmittel und Medien verwendet, um den Beweis durchzuführen. Zunächst wird über eine Geschichte in Briefform das Problem eingeleitet. Um den Kindern die verschiedenen Situationen und Stationen an der Lernumgebung zu verdeutlichen, wurden diese als Textkarten gestaltet, die durchgehend für die Kinder präsent bleiben. Anhand von differenzierten Arbeitsblättern werden verschiedene Zugänge ermöglicht. Auch die vorliegenden Bilder, Figuren und Münzen wurden selbst erstellt. Zum Abschluss wird als digitales Medium ein Smartphone eingesetzt, das dazu genutzt wird, über eine Sprachnachricht die wichtigsten Erkenntnisse bezüglich des Beweises noch einmal zusammenzufassen.

Ungefährer Zeitbedarf zur Durchführung

Die Lernumgebung ist für 45 Minuten angesetzt. Sie kann je nach Lernstand und Größe der Schülergruppe auf 90 Minuten ausgeweitet werden.

Adressaten der Lernumgebung

Die Lernumgebung ist für die Klassenstufe 4 angedacht. Im Fokus stehen eher mathematisch begabte Kinder, da die Lernumgebung recht anspruchsvoll ist. Durch ein Differenzierungsangebot innerhalb der Lernumgebung ist sie allerdings auch für eine heterogene Lerngruppe geeignet.

Es handelt sich grundsätzlich um eine Einzelarbeit. Möchte man sie jedoch beispielsweise in einer dritten Klasse durchführen, wäre es möglich, die Aufgaben in Partnerarbeit zu lösen, ohne diese ändern zu müssen. Dies ist auch der Fall, wenn die Lehrperson (im Folgenden: LP) befürchtet, dass leistungsschwächere SuS Schwierigkeiten bei der Bearbeitung haben. Die SuS haben durch das zur Verfügung gestellte Material die Möglichkeit, gemeinsam zu interagieren und die Aufgaben zu bearbeiten, beziehungsweise sich gegenseitig zu kontrollieren.

Zentrale Aufgabenstellungen und Arbeitsaufträge in der Lernumgebung

Über eine Geschichte wird in das Fantasiezahlenland eingeleitet. Dadurch wird der Beweis thematisch und funktional eingebettet, um den Kindern den Einstieg in die Beweisaufgabe zu erleichtern und sie dazu zu motivieren, sich mit dem mathematischen Problem, das hinter dem Beweis steckt, zu beschäftigen.

Der Schwierigkeitsgrad wird beim Einstieg zunächst leicht gehalten, um die Lerngruppe zu motivieren und die Neugierde zu wecken. Wie die folgenden Materialien zeigen, findet hier eine natürliche Differenzierung statt, da sich jedes Kind auf seinem eigenen Leistungsniveau eine Sache aussuchen kann, die es kaufen möchte:

• Einstiegsgeschichte

• Arbeitsblatt mit Wimmelbild

1. Impuls: „Hilf Juri und Lina bei der Entscheidung, was sie sich mit den 3er und 5er-Münzen heute kaufen können.”

→ Erwartete Schülerantworten: „Juri und Lina können sich mit den 3er und 5er Münzen aus allen Sachen eine aussuchen. / Lina könnte sich den Nagellack kaufen, weil man den Betrag 8 aus 3er und 5er Münzen bilden kann. / Juri könnte sich die Bonbons, die im Mund den Geschmack wechseln, kaufen, weil man den Betrag 11 aus 3er und 5er Münzen bilden kann.”

2. Impuls: „Kreise auf dem Wimmelbild die Sache ein, die du kaufen würdest und klebe den Betrag hier auf."

→ Erwartete Schülerantworten: „Ich würde das fliegende Spielzeugauto kaufen. Es kostet 13 Fantasiezahlen-Münzen. Ich bezahle es mit zwei 5er Münzen und einer 3er Münzen."

• Fantasiezahlen Münzen

Im weiteren Fortgang werden konkrete Aufgabenstellungen mit aufgabenspezifischen Hintergrundinformationen und möglichen Impulsen aufgelistet.

Um an die Einstiegsgeschichte anzuknüpfen, kommt eine neue Figur zu Beginn der Arbeitsphase hinzu: Juri und Linas Mutter. Diese erlaubt ihren Kindern, ein weiteres Produkt zu kaufen. Juri schlägt vor, sich den Preis von 14 Fantasiezahlen-Münzen für die Kreide mit Lina zu teilen, wodurch es zu einem Betrag unter 8 Münzen kommt. Dadurch verstehen die Kinder, dass man den Betrag 7 nicht mit 3er und 5er Münzen bezahlen kann.

• Textkarte 1: „Lege den Betrag, den jeder zahlen muss.”

→ Die SuS finden heraus, dass man den Betrag 7 nicht mit Fantasiezahlen-Münzen bezahlen kann.

• Differenzierung: „Kennst du weitere Beträge, die man nicht mit den Münzen legen kann?”

→ Die SuS finden heraus, dass auch die Beträge 1, 2 und 4 nicht mit den Fantasiezahlen-Münzen gelegt werden können und entdecken so, dass die Beträge auf dem Markt erst ab 8 anfangen.

Um zum eigentlichen Beweis hinzuführen, kommt eine weitere Figur zur Geschichte hinzu: Herr Euro. Dieser möchte seine Videospiele verkaufen, die alle zwischen 8 und 24 Münzen kosten. Hier erfolgt die selbstständige Bearbeitung der Problemstellung, die darin besteht, dass Herr Euro befürchtet, dass nicht jedes Videospiel bezahlt werden kann. Dadurch verstehen die Kinder, dass man alle Beträge zwischen 8 und 24 mit 3er und 5er Münzen bezahlen kann.

• Textkarte 2: „Hilf Juri und Lina zu beweisen, dass jedes Videospiel zwischen 8 und 24 Fantasiezahlen-Münzen bezahlt werden kann.”

→ Die SuS finden heraus, dass die Zahlen zwischen 8 und 24 aus 3 und 5 gebildet werden können.

Zur Differenzierung werden drei verschiedene Zugänge im Sinne des E-I-S-Prinzips angeboten.

• Enaktiver Zugang

• Ikonischer Zugang

• Symbolischer Zugang

In der allgemeinen Beweisphase rückt der konkrete Zahlsystembeweis (s. „Kurzbeschreibung der Lernumgebung”) in den Vordergrund. Hierfür wird das Problem konstruiert, dass Herr Euro sich fragt, ob er auch Videospiele verkaufen könnte, die teurer als 24 Fantasiezahlen-Münzen sind. Durch diese funktionale Einbettung führen die Kinder den allgemeinen Beweis durch.

• Textkarte 3: „Hilf Juri und Lina dabei, zu beweisen, dass jeder Betrag über 8 mit 3er und 5er Fantasiezahlen-Münzen gebildet werden kann.”

→ Die SuS finden heraus, dass alle Zahlen über 8 aus 3 und 5 gebildet werden können, da größere Zahlen Zusammensetzungen aus kleineren Zahlen sind.

• Differenzierung mit Hilfe von Tippkarte 1: „Juri behauptet: Um zu beweisen, dass ich den Betrag 28 aus 3er und 5er Münzen bilden kann, reicht es zu wissen, dass ich die Zahlen 8 und 10 aus 3er und 5er Münzen bilden kann."

• Differenzierung mit Hilfe von Tippkarte 2: „Lina behauptet: Schau in die Tabelle. Dort siehst du, wie sich die verschiedenen Zahlen zusammensetzen. Willst du nun eine höhere Zahl bilden, nimmst du die passende Zahl aus der Tabelle als Hilfe und hängst so viele 5er dran wie nötig.”

Die LP formuliert mit Anknüpfung an die Geschichte in der Sicherung noch einmal den Impuls, der die SuS dazu anregt, über das Gelernte nachzudenken und den Beweis eigenständig zu formulieren. Die Antwort wird dann als „Sprachnachricht" an Herrn Euro geschickt.

• Abschließender Impuls: „Erkläre Herrn Euro noch einmal, aus welchem Grund sich alle Zahlen ab 8 aus 3 und 5 bilden lassen.”

→ Die SuS fassen den allgemeinen Beweis in eigenen Worten noch einmal zusammen.

Technische Voraussetzungen

Die Durchführung der Lernumgebung erfordert bis auf ein aufnahmefähiges Gerät (Handy, Tablet, etc.) keine technischen Voraussetzungen. Benötigt werden zudem die erstellten Materialien, die hinreichende Menge von 3er und 5er Münzen sowie ausreichend Steckwürfel. Außerdem muss der Raum über genügend Platz verfügen, um die Tische für die Materialien und die einzelnen Stationen bereitzustellen.

Mathematischer Gehalt der Lernumgebung

Mathematische Analyse

Die Lernumgebung basiert auf dem sogenannten „Stamp Problem” oder auch „Briefmarkenproblem”. Gegeben ist hierbei eine Teilmenge A⊂ℕ0 und eine Anzahl h. Gesucht wird die h-Reichweite von A, also die größte Zahl n(h,A), sodass sich alle ganzen Zahlen 0 ≤ k ≤ n als Summe von höchstens h Zahlen aus A darstellen lassen. In dieser Lernumgebung wird den SuS keine Anzahl h gegeben, sie müssen also zeigen, dass man ab einer Zahl n alle ganzen Zahlen ℕ0>n als Summe von Zahlen aus A darstellen lassen.

Hinsichtlich der notwendigen mathematischen Kenntnisse ist zudem festzuhalten, dass vor allem Fähigkeiten in den Rechenarten Addition und Subtraktion benötigt werden. Darüber hinaus ist die Einsicht in den Aufbau des Dezimalsystems erforderlich, da im Dezimalsystem lediglich 10 Ziffern (0,1,2,3,…,9) notwendig sind, um alle Zahlen darzustellen (vgl. Krauthausen & Scherer, 2007, S. 17). Die Idee hinter dem Zahlsystembeweis liegt darin, dass unser Zahlsystem der Regel folgt, dass jede Zahl durch das Hinzufügen von 10 (5+5) erreicht werden kann. Auch das Zerlegen von Zahlen in kleinere Einheiten spielt eine große Rolle: „Grundsätzlich ist für das Stellenwertverständnis die Fähigkeit der Kinder wichtig, Zahlen als Summe aus anderen, kleineren Zahlen zu verstehen“ (Padberg & Benz, 2011, S. 53). Entsprechung findet dies in der Lernumgebung durch die 3er und 5er Bündelung der Fantasiezahlen-Münzen. Hat man beispielsweise die Einsicht in die Bündelung der Zahl 8 (5+3) gewonnen, so erkennt man schnell, dass sich die Bündelung der Zahl 18 durch das Hinzuaddieren von 10 (5+5) ergibt.

Der Kernlehrplan Mathematik für die Primarstufe sieht einige inhaltliche als auch allgemeine Kompetenzen vor, die auch für die Lernumgebung von zentraler Bedeutung sind (vgl. Ministerium für Bildung, Familie, Frauen und Kultur, 2009, S. 5):

• Inhaltliche Kompetenzen:

1. Zahlen und Operationen: Zahldarstellungen und Zahlbeziehungen verstehen
2. Muster und Strukturen: Muster erkennen und funktionale Beziehungen darstellen

• Allgemeine mathematische Kompetenzen:

1. Kommunizieren: eigene Vorgehensweise beschreiben
2. Argumentieren: Begründungen suchen und nachvollziehen
3. Darstellen: geeignete Darstellungen nutzen
4. Problemlösen: Lösungsstrategien entwickeln

Mathematikdidaktischer Gehalt der Lernumgebung

Didaktische Analyse

In der Literatur finden sich einige Hinweise zur Vorgehensweise bei der Gestaltung einer substanziellen Lernumgebung. Laut Wittmann (vgl. 1998, S. 338 f.) ist es von Bedeutung mit der Lernumgebung ein konkretes Ziel zu verfolgen und damit verschiedene mathematische Inhalte aufzubereiten (s. „Kurzbeschreibung der Lernumgebung"). Außerdem muss die Lernumgebung Möglichkeiten für mathematische Aktivitäten liefern. In der vorliegenden Lernumgebung werden die SuS zum Argumentieren, zum Kommunizieren, zum Beweisen, zum Darstellen und zum Problemlösen angeregt. Durch die gegebenen Differenzierungsangebote entspricht die Lernumgebung auch dem Aspekt der Flexibilität und die Heterogenität innerhalb einer Klasse wird berücksichtigt. Die unterschiedlichen Zugänge des E-I-S-Prinzips nach Bruner ermöglichen eine ganzheitliche Auseinandersetzung mit dem mathematischen Gegenstand. Hieraus resultierende Schülerdokumente können des Weiteren als Potenzial für empirische Forschung dienen (vgl. Wittmann, 1998, S. 338 f.).

Mögliche Fehler beziehungsweise Hindernisse resultieren aus der Nichtbeachtung der Hinweise zur Vorgehensweise bei der Gestaltung einer substanziellen Lernumgebung. Als Beispiele seien hier mangelnde Einsicht in das Stellenwertsystem, fehlende Differenzierung, mögliche Rechenfehler, abnehmende Konzentration, nicht ausreichende Lesekompetenz (vgl. Krauthausen & Scherer, 2007, S. 208) und Schwierigkeiten beim Formulieren des allgemeinen Beweises zu nennen (vgl. Brunner, 2014, S. 85 f.).

„Gute“ Aufgaben & Differenzierung

Zu den Kriterien „guter” Aufgaben (vgl. Winter, 2003, S. 182 f.) gehört zunächst einmal die mathematische Ergiebigkeit. Bezogen darauf fordert die Lernumgebung die Kinder durch progressiv schwierigere beziehungsweise umfangreichere Aufgaben dazu auf, ein allgemeines Muster, nämlich die Zusammensetzung größerer Zahlen aus 3er und 5er Bündelungen, zu erkennen sowie das Verständnis für den Aufbau des Stellenwertsystems zu vertiefen. Am Ende sollen sie das Gelernte gemeinsam in einem allgemeinen Beweis zusammenfassen. Ein weiteres Kriterium guter Aufgaben besteht in der Offenheit und der optimalen Passung. Betrachtet man die Arbeitsblätter werden die SuS dazu angeregt, verschiedene Darstellungsweisen zu probieren, beziehungsweise die für sie passende auszuwählen. Gleichzeitig haben sie die Möglichkeit, Teile der Aufgaben selbst zu wählen und somit Einfluss auf die Schwierigkeit zu nehmen (Bsp.: Wimmelbild - SuS entscheiden, was sie kaufen möchten). Darüber hinaus sind die Authentizität sowie ein sinnstiftender Kontext zentral für gute Aufgaben. Die Lernumgebung bietet ein Gleichgewicht zwischen motivierenden, glaubhaften und relevanten Inhalten. Sie kreiert eine Fantasiewelt, die das Interesse der SuS weckt. Gleichzeitig werden lebensweltlich bedeutsame Themen, wie der Umgang mit beziehungsweise. die Funktion von Geld besprochen. Des Weiteren ist die Problemorientierung essenziell. Die SuS werden mit den unterschiedlichsten Problemen konfrontiert, welche die beiden Identifikationsfiguren bei ihrem Marktbesuch erleben (vgl. Winter, 2003, S. 182 f.). Zudem ist die Verständlichkeit von großer Bedeutung. Die Texte sowie die Aufgabenstellungen sind in kindgerechter Sprache formuliert und daher für die Lernenden leicht verständlich.

In der Lernumgebung werden verschiedene Arten der Differenzierung berücksichtigt (vgl. Müller, 2012, S. 14). Zunächst findet eine natürliche Differenzierung statt. Diese wird durch die eigenständigen Überlegungen im Einstieg sowie das eigenständige Wählen von Artikeln, die gekauft werden können, gewährleistet. Zudem wird die quantitative Differenzierung realisiert, indem SuS, die sehr schnell mit der Lösung der Aufgabe fertig sind, zusätzliche Überlegungen zu den Beträgen unter 7 anstellen. Die Lernenden überlegen sich im Rahmen dessen weitere Beträge, die nicht mit den Münzen 3 und 5 gelegt werden können. Im Sinne der qualitativen Differenzierung findet das E-I-S-Prinzip Anwendung. In der Hauptphase der Lernumgebung werden verschiedene Darstellungsweisen angeboten: Der enaktive Zugang wird durch die Bündelungen mit Steckwürfeln realisiert, der ikonische Zugang wird durch Einkreisen von Plättchen ermöglicht und der symbolische Zugang umfasst das Notieren der Rechnungen mit Zahlen. Außerdem werden differenzierte Lernhilfen zur Verfügung gestellt. Konkret handelt es sich dabei um Tippkarten, die selbstständig während den Arbeitsphasen der Lernumgebung genutzt werden können, wenn die Lernenden diese benötigen (vgl. Müller, 2012, S. 14).

Artikulation, Kommunikation, Soziale Organisation

In der vorliegenden Lernumgebung werden die Artikulationsoptionen Handeln, Sprechen und Schreiben berücksichtigt. In Bezug auf das Handeln haben die Lernenden die Option, die Geldbeträge mit Münzen selbst zu legen und Steckwürfel zur Unterstützung zu nutzen. Sprechen findet Anwendung, indem die SuS dazu aufgefordert werden, ihre Lösungsansätze zu erläutern und argumentativ zu belegen. Zuletzt sollen sie gemeinsam eine Erklärung finden. Hier müssen die Lernenden demnach miteinander diskutieren und argumentieren. Auch das Schreiben findet Berücksichtigung, denn die Lernumgebung beinhaltet Arbeitsblätter, die den SuS ermöglichen, ihre Arbeitsschritte schriftlich festzuhalten. Da die Aufgaben aufeinander aufbauen, können sie ihre Notizen als Hilfestellung für folgende Aufgaben nutzen. Raum zum Behalten wird den Lernenden ermöglicht, indem sie auf ihren Arbeitsblättern all ihre Arbeitsschritte schriftlich festhalten und diese auch für die jeweils folgenden Aufgaben nutzen können. Dadurch findet eine dauerhafte Sicherung der Ergebnisse statt. Gleichzeitig bietet die Gestaltung der Arbeitsphase, in denen den SuS verschiedene Darstellungsweisen angeboten werden, die Möglichkeit, einen für sie passenden Weg zu wählen. Dadurch wird der Raum zur Gestaltung gewährleistet.

Die Lernumgebung kann nach Bedarf und Klassengröße sowohl in Einzelarbeit, in Partnerarbeit oder in Gruppenarbeit durchgeführt werden. Sinnvoll wäre es, die finalen Ergebnisse im Plenum zu besprechen, um sicherzustellen, dass alle SuS den zugrundeliegenden Beweis verstanden haben und um gemeinsam verschiedene Lösungswege zu diskutieren und zu reflektieren. Durch die Diskussion im Sitzkreis haben in der Schlusssequenz alle SuS noch einmal die Möglichkeit, sich zu beteiligen. Im Rahmen dessen stellen sie ihre Lösungswege vor und erarbeiten miteinander einen allgemeingültigen Beweis. Hier ist es möglich, dass die SuS sich gegenseitig (Peer-)Feedback zu ihren Lösungen geben. Die LP hat dabei die Option, in die Diskussion einzugreifen und Impulse oder Hilfestellung zu geben. Bestehende Probleme und Verständnisschwierigkeiten können in dieser Phase von der LP identifiziert werden, da sie die Rolle der Lernbegleitung einnimmt. Ein gezieltes Feedback bietet sich zudem in dieser abschließenden Phase der Beweisführung an.

Die genauen Impulse sind in dem Kapitel „Zentrale Aufgabenstellungen und Arbeitsaufträge in der Lernumgebung” nachzulesen. Ergänzend dazu werden während der Durchführung der Lernumgebung verschiedene Impulse gegeben, die die SuS dazu anregen, ihre Vorgehensweise zu verbalisieren und ihre Gedankengänge darzustellen.

Potenzial des Einsatzes (digitaler) Medien

Bezüglich des benötigten investiven Materials wird Folgendes konstatiert: Die Text- und Tippkarten können einmalig laminiert und dann platzsparend nach Abschluss der Lernumgebung verstaut werden. Die Münzen können entweder als investives oder als konsumtives Material genutzt werden. Material wie die Steckwürfel ist nicht an die Lernumgebung gebunden beziehungsweise nicht ausschließlich für diese verwendbar und kann somit generell im Matheunterricht genutzt werden. Zudem muss ein Handy oder Tablet bereitliegen, um in der Schlussphase den allgemeinen Beweis festzuhalten. Die SuS kennen bereits den Umgang mit den Arbeitsmitteln, sodass diese keinen weiteren Lernstoff darstellen und sie sich auf den mathematischen Inhalt konzentrieren können. Falls Fragen bezüglich der Anwendung aufkommen, steht die LP als Lernbegleitung bereit. Die Arbeitsblätter als konsumtives Material müssen für alle SuS zur Verfügung gestellt werden. Es ist der LP überlassen, ob sie für jedes Kind alle drei Variationen bereitstellt oder eine feste Anzahl vorbereitet. Wie bereits erwähnt, können die Münzen investives oder konsumtives Material sein. In diesem Fall muss gewährleistet werden, dass alle SuS genügend Münzen zur Verfügung haben. Die Utensilien werden auf verschiedenen Materialtischen im Klassenraum verteilt. Jeder Materialtisch stellt somit einen eigenen Zugang dar. Nach einer kurzen Einführung der Materialien durch die LP können die SuS selbst an die Tische gehen und sich die benötigten Materialien und zugehörige Text- und Tippkarten nehmen. Sie werden darauf hingewiesen, dass sie die Textkarten und gegebenenfalls die Münzen zum Ende der Stunde beziehungsweise nach Bearbeitung des Arbeitsauftrags wieder auf den Tisch zurücklegen.

Die Lernumgebung bringt einige Vor- als auch Nachteile mit sich. Zu den Vorteilen der Organisation des Materials zählt die Förderung der Personal-, Selbst-, Sozial- und Methodenkompetenz: Die SuS schätzen ihren eigenen Leistungsstand ein und wählen dementsprechend ein Arbeitsblatt aus. Außerdem können die Lernenden ihre Fähigkeiten, mit einem Partner oder in einer Gruppe zu arbeiten, verbessern. Im Sinne des E-I-S-Prinzips können die SuS sich zudem eigenständig für eine Darstellungsform zur Bearbeitung entscheiden und erweitern damit ihre enaktive, ikonische und / oder symbolische Methodenkompetenz. Ein weiterer Vorteil wäre die Verteilung der Materialien auf verschiedenen Tischen. Dadurch wird eine Ansammlung an Lernenden an nur einem potentiellen Materialtisch vermieden. Insgesamt spiegelt sich zudem die offene Organisationsform der Materialien im offenen Inhalt der Aufgaben wider (s. „Gute Aufgaben und Differenzierung”). Durch Feedback im Rahmen der Präsentation der Lernumgebung und der Erprobung konnten zwei Nachteile identifiziert werden. Zum einen wäre dabei die Verwendung von Steckwürfeln zu nennen. Da diese nicht fest miteinander verbunden sind, kann die 3er und 5er Bündelung leicht durchbrochen werden. Der andere Nachteil schlägt sich im hohen Organisationsaufwand der LP nieder, da die Aufgabe dieser darin besteht, sämtliches Material für die Materialtische im Vorhinein vorzubereiten. Dennoch verfolgen die ausgewählten Materialien bestimmte Ziele. Unter Berücksichtigung der von Krauthausen und Scherer (vgl. 2007, S. 257) definierten Funktionen erfüllt das Material der Lernumgebung zunächst die Funktion als Mittel zur Zahldarstellung. Die Arbeitsmittel wie Steckwürfel oder die abgedruckten Plättchen visualisieren verschiedene durch 3er- und 5er-Bündelungen dargestellte Zahlen. Auch die Funktion als Argumentations- und Beweismittel ist zutreffend, da der allgemeine Beweis mithilfe der Arbeitsmittel von den SuS selbstständig durchgeführt werden kann. Außerdem dienen die Materialien als Grundlage zum Argumentieren und Verbalisieren der einzelnen Vorgehensweisen. Darüber hinaus bringen die Arbeitsmittel fachdidaktische Potenziale mit sich. Zunächst fördern sie den Aufbau mentaler Vorstellungen. Beispielsweise können die Lernenden durch das Einkreisen der Plättchen die 3er und 5er Bündelung besser nachvollziehen. Des Weiteren findet das E-I-S- Prinzip, wie bereits erwähnt, in der Lernumgebung Geltung. Hinzu kommt, dass inhaltliche sowie allgemein mathematische Kompetenzen gefördert werden. Außerdem ermöglichen die Arbeitsmittel individuelle Lösungswege, sodass die SuS sich eigenständig mit dem Beweisen auseinandersetzen können.

Wie die obigen Ausführungen bereits deutlich gemacht haben, stimmt das Preis-Leistungsverhältnis der Lernumgebung, sodass keine Unausgewogenheit an Material und Zeitaufwand spürbar wird. Zu den Aufgaben der LP gehört, die Text- und Tippkarten sowie die Münzen auszudrucken, zu laminieren und auszuschneiden. Alle Arbeitsblätter müssen ausgedruckt und die Steckwürfel zu 3er- und 5er-Bündeln zusammengesteckt werden. Außerdem muss das Handy oder Tablet bereitgelegt werden. Die meisten Materialien sind bereits im Klassenraum verfügbar oder können im schulischen / universitären Rahmen ausgeliehen werden (zum Beispiel im Didaktik-Labor). Folglich sind keine hohen ökonomischen Kosten mit der Lernumgebung verbunden. Auch der Kostenaufwand hinsichtlich der notwendigen Zuwendung seitens der LP beläuft sich auf ein Minimum. Die Anweisungen befinden sich alle auf den Textkarten und Arbeitsblättern, sodass die Lernenden sie immer wieder nachlesen können. Für potenziell schwierige Gelenkstellen wurden Tippkarten angefertigt, die die SuS selbstständig nutzen können und die Impulse zur Weiterarbeit bieten. Lediglich die allgemeine Beweisphase stellt ohne Zuwendung eine Hürde in der Lernumgebung dar. Aufgrund dessen, dass die Lernumgebung auch das soziale Lernen ermöglicht, können sich die SuS durch erfolgreiche Kooperation bei Problemen und Schwierigkeiten gegenseitig unterstützen.

Evaluation

Die SuS haben die Möglichkeit, im Bereich der Bündelung in der Arbeitsphase der Lernumgebung eigene Strategien zu entwerfen und anzuwenden. Ein Beispiel hierfür wäre die Nutzung der Münzen, um die Bündelungen durch systematisches Probieren herauszufinden. Auch bieten die Arbeitsblätter den SuS den Raum, Notizen und neue Erkenntnisse o.Ä. zur Unterstützung ihrer Lösungen zu vermerken.

Darüber hinaus lassen sich bei der Durchführung in verschiedenen Aspekten Förderimpulse identifizieren. Allgemein können sich bei SuS Schwierigkeiten im Bereich der Addition zeigen, da diese eine grundlegende Fähigkeit zur erfolgreichen Lösung der Aufgaben der Lernumgebung ist. Auch im Bereich der Zahlbeziehungen kann die Lernumgebung bei der Identifikation von Förderbedarf helfen, da vor allem der Übergang zur allgemeinen Beweisführung fordert, dass SuS diese identifizieren und auch übertragen können. Im Allgemeinen bietet die Lernumgebung des Weiteren die Möglichkeit, Schwierigkeiten von SuS vor allem im Bereich des Argumentierens festzustellen.

Die Lernumgebung stützt sich insgesamt in großem Maße auf die Argumentationen der SuS. Das Argumentationsschema nach Toulmin (1958) etwa bietet die Möglichkeit, die Argumente der SuS, die möglicherweise nicht vollständig korrekt sind, in einzelne Aspekte eines vollständigen Argumentes zu zerlegen und (Teil-)Ergebnisse zur weiteren Lösung zu nutzen. Beispielsweise kann trotz korrekter Schlussregel eine falsche Schlussfolgerung entstehen. Die Betrachtung der einzelnen Aspekte ermöglicht es, richtige Teilergebnisse zu erkennen. Auch bei der Sprachnachricht in der Schlussphase kann anhand des mathematischen Gehalts festgestellt werden, ob und inwiefern die Schülerlösung anerkennenswert ist.

Einige Aufgaben eignen sich zudem zur Förderung des sozialen Lernens. Besonders die ersten Aufgaben sowie die allgemeine Beweisphase können gemeinsam als Partner- oder Gruppenarbeit gelöst werden. Bei der Bearbeitung des Arbeitsblatts mit dem Wimmelbild bietet es sich an, die Aufgaben nach der Bearbeitung mit einem/-r Partner/-in zu vergleichen und zu besprechen. Die SuS können so erfahren, warum der/die Partner/-in sich für die gewählte Ware vom fiktiven Markt entschieden hat. Empathie und das Hineinversetzen in das Gegenüber werden somit gefördert. Eventuell stärkt dies sogar die Beziehung zueinander. In der allgemeinen Beweisphase können die SuS von- und miteinander lernen. Jeder der SuS hat individuelle Fähigkeiten, die zum Lösen der Aufgabenstellung beitragen können. Die SuS lernen dabei, sich gegenseitig zuzuhören, sowie sich die Inhalte zu erklären - der respektvolle Umgang miteinander wird dadurch gefördert.

Vernetzung mit anderen Lernumgebungen

Hinsichtlich der Vernetzung mit anderen Lernumgebungen ist Folgendes feststellbar: Die Lernumgebung bietet die Möglichkeit anschließend das ,,Briefmarkenproblem” mit einer Teilmenge A und einer Anzahl h zu bearbeiten. Bei Bedarf kann es sich hier auch um eine Zusatzaufgabe für schnelle SuS handeln, die diese zusätzlich erledigen können. Vor der Lernumgebung sollte das Beweisen thematisiert werden, sodass die SuS mit der Thematik vor dem Bearbeiten der Aufgaben bereits vertraut sind. Es können Vokabeln / Satzanfänge besprochen werden, die man bei der Formulierung für die Argumentationen einbauen sollte. Dies erleichtert die Beweisphase, die im letzten Schritt stattfindet. Nach der Lernumgebung könnten ähnliche Aufgaben mit den SuS erarbeitet werden, um die einzelnen Schritte und Abläufe zur Bearbeitung solcher Aufgaben zu festigen. Dies könnte zum Beispiel spielerisch im Plenum und an der Tafel stattfinden, oder wie bei der dargestellten Lernumgebung alleine bzw. in Partner-/ Gruppenarbeit. Außerdem könnte man im Anschluss an die Lernumgebung die Struktur und den Aufbau des dezimalen Stellenwertsystems im Unterricht aufgreifen.

Die Lernumgebung erlaubt außerdem Beziehungen zu anderen Bereichen des Mathematikunterrichts. Im Sinne der inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen lässt sich Bezug zum Kompetenzbereich Größen und Messen herstellen, da Beziehungen zum Rechnen mit Geld und Umrechnungen von Standardeinheiten identifiziert werden können. Darüber hinaus bietet es sich an, andere Währungen und Währungssysteme zu untersuchen. Außerdem könnten die SuS im Rahmen des Mathematikunterrichts Sachaufgaben, welche die Fantasiezahlen-Münzen aus der Lernumgebung aufgreifen, konzipieren. Insgesamt trägt die Einsicht in das Stellenwertverständnis dazu bei, dass Erweiterungen des Zahlenraums in zukünftigen Klassenstufen besser nachvollzogen werden können. Hieraus resultiert eine Verbindung zum Kompetenzbereich Zahlen und Operationen.

Neben den Relationen zu anderen mathematischen Bereichen lassen sich auch Beziehungen zu anderen Schulfächern herstellen. Da die SuS dazu aufgefordert sind, miteinander zu kommunizieren, zu argumentieren und ihre Ergebnisse schriftlich festzuhalten, kann sich hier eine Verbindung zum Deutschunterricht herstellen lassen, da diese Fähigkeiten auch für dieses Fach von Bedeutung sind. Sollte die LP vorhaben, die Münzen von den SuS selbst herstellen zu lassen, gäbe es eine Verbindung zum Kunstunterricht, da hier motorische Fähigkeiten wie die Führung eines Stiftes als auch die korrekte Nutzung einer Schere von Bedeutung sind. Gleichzeitig bietet die freie Gestaltung der Münzen eine Chance, die Kreativität der SuS zu fördern bzw. zu fordern.

Darüber hinaus finden sich auch Verbindungen zur außerschulischen Lebenswelt. Zwar handelt es sich in der Lernumgebung um eine Fantasiewährung, die Handlungen lassen sich jedoch in die reale Welt übertragen. Einkaufssituationen stellen im Leben junger Heranwachsender keine Seltenheit dar. Durch die Lernumgebung lernen die SuS, verschiedene Geldbeträge miteinander in Verbindung zu setzen und zu identifizieren, welche dieser Beträge sie mit den ihnen zur Verfügung stehenden Mitteln bezahlen können. Die SuS werden somit in einer Fähigkeit gefördert, die sie in der außerschulischen Lebenswelt häufig nutzen werden müssen.

Reflexion der Lernumgebung

Bei der Durchführung der Lernumgebung können einzelne problematische Stellen auftreten. Der erste zu nennende Stolperstein ist der Zeitaspekt. Die Lernumgebung könnte gegebenenfalls länger als 45 Minuten dauern und somit könnte es zu einer Bruchstelle kommen, an die in der folgenden Stunde angeknüpft werden muss. Des Weiteren sind für die Lernumgebung komplexe Lernvoraussetzungen wie die Einsicht in die Addition, die Zahlzerlegung und das Stellenwertverständnis notwendig. Wenn diese grundlegenden Voraussetzungen nicht gegeben sind, könnten sich für leistungsschwächere SuS Verständnisprobleme ergeben und Impulse seitens der LP notwendig machen. An dieser Stelle sind fachdidaktische sowie fachwissenschaftliche Kompetenzen der LP relevant. Zuletzt könnte sich der Übergang vom exemplarischen zum allgemeinen Beweisen als schwierig gestalten, da SuS in der Regel wenig Erfahrung im Umgang mit dem Formulieren eines Beweises haben. In Anbetracht dessen, dass die eben formulierten mathematischen Kenntnisse zum Thema Stellenwertverständnis, Zahlzerlegung und Addition von besonders hoher Bedeutung für die Lernumgebung sind, ist die Durchführung dieser bei fehlendem Grundlagenverständnis nicht zu empfehlen (s. „Mathematische Analyse"). Wird die Lernumgebung in einer homogenen leistungsschwächeren Klasse durchgeführt, muss mehr Zuwendung seitens der LP gewährleistet sein.

Nach der Durchführung

Daten zur Durchführung

Die Durchführung wurde an zwei verschiedenen Tagen mit jeweils einem Kind durchgeführt. Bei dem ersten Kind handelt es sich um ein Mädchen, das die 5. Klasse eines Gymnasiums besucht (S1). Das zweite Kind ist ein 9-jähriger Junge, der zur Zeit der Durchführung eine 3. Klasse besuchte (S2). S1 war der Durchführenden bereits bekannt, da es sich um ihre Nachhilfeschülerin handelt. S2 war jedoch „unbekannt”. Beide Durchführungen haben den vorher gesetzten Zeitrahmen der Lernumgebung von 45 Minuten nicht überschritten. Die Durchführung mit S1 fand bei der Schülerin zu Hause statt. Die zweite wurde digital über die Videoplattform Zoom abgehalten. In diesem Fall wurden S2 alle Materialien bereits im Vorfeld zur Verfügung gestellt, S1 erhielt diese erst vor Ort im Zusammenhang mit den verschiedenen Schritten der Lernumgebung. Beiden Kindern war es möglich, alle Aufgaben erfolgreich zu lösen, wobei nur S1 im letzten Arbeitsschritt eigenständig eine allgemeine Formulierung verfasst hat (s. „Schülerdokumente"). Bei der Durchführung mit S1 lagen die erstellten Münzen aufgrund eines Druckfehlers nicht vor und es wurde auf eine Alternative zurückgegriffen.

Schülerdokumente

S1:

S2:

Reflexion

Im Folgenden werden die Erfahrungen aus der Durchführung der Lernumgebung aus Sicht der Frankfurter Studenten geschildert:

Durchführung S1: Allgemein hat die Umsetzung der Lernumgebung sehr gut funktioniert. Die Aufgabenstellungen waren klar formuliert und S1 hatte keine Probleme, diesen zu folgen. Der vorher festgelegte Zeitraum von 45 Minuten war vollkommen ausreichend und wurde unterschritten. Da dies auch bei S2 der Fall war, scheint der Zeitraum von 45 Minuten somit auch im Unterricht mit heterogenen Klassen realistisch umsetzbar zu sein. Auch aus Sicht der LP verleiht der Aufbau der Lernumgebung der Unterrichtsstunde an Struktur. Die LP kann im Verlauf der Lernumgebung eine eher passive Rolle übernehmen und den SuS eigenständiges Arbeiten ermöglichen. Der progressiv steigende Schwierigkeitsgrad und die Verbindung der einzelnen Aufgabenteile hat sich als hilfreich für S1 erwiesen, da sie zum Lösen der Aufgaben auf vorherige Aufgabenteile zurückgreifen konnte. Auch die Münzen dienten S1 als Hilfestellung, um durch systematisches Probieren die verschiedenen Zahlen in der Tabelle in 3er und 5er Bündeln darzustellen. Das Verfassen einer allgemeinen Formulierung im letzten Arbeitsschritt bot einige Schwierigkeiten. Da S1 noch kaum Erfahrung in diesem Bereich hatte, fehlten sowohl Vokabular als auch ein volles Verständnis, was eine allgemeine Formulierung des Beweises beinhaltet. Eine regelmäßige Implementierung in den Unterricht mit einer vorhergehenden Einführung durch die LP könnte dabei unterstützen, eine Routine für die allgemeine Beweisführung zu festigen. Im Gespräch wurde deutlich, dass S1 den allgemeinen Beweis durchaus verstanden hatte und diesen auch anwenden konnte. Die Schwierigkeiten lagen ausschließlich im Bereich der Formulierungen. Die Tipp-Karten wurden nicht benötigt. S1 hat außerdem darum gebeten, die Formulierung schriftlich und nicht in Form einer Sprachnachricht festzuhalten. Dies erwies sich als sinnvoll, da die Ergebnisse somit (vor allem für größere Gruppen bzw. Klassen) auch zu Hause für jeden zu jeder Zeit zugänglich sind.

Durchführung S2: Die Durchführung hat mit S2 ebenfalls sehr gut geklappt. Besonders die Darstellung der Zahlen von 8 bis 24 ist reibungslos und ohne jegliche Probleme abgelaufen. S2 hat keine Hilfsmittel benötigt und ist innerhalb sehr kurzer Zeit mit der Bearbeitung fertig geworden. Verständnisfragen sind ganz zu Beginn aufgekommen: S2 hat angenommen, dass jeweils nur eine 3er und eine 5er Fantasiezahlmünze zur Verfügung steht. Aus diesem Grund kam S2 zu der Schlussfolgerung, dass mit den Münzen nur der Nagellack gekauft werden kann. S2 wurde von der LP genauer darauf hingewiesen und hat die Hinweise auf Anhieb verstanden und umgesetzt. Es ist S2 gelungen, alle Produkte des Marktes mithilfe der Fantasiezahlmünzen darzustellen. Dies wurde jedoch nur mündlich überprüft. Als Textkarte 2 zum Einsatz kam, hat S2 sogar Lösungsvorschläge formulieren können. S2 war bewusst, dass der Betrag 7 nicht gelegt werden kann, hat dies aber nicht explizit formuliert. Stattdessen hat S2 geäußert, dass es mit 1er Münzen möglich wäre. Der letzte Arbeitsschritt, als es um das Verfassen einer allgemeinen Regel ging, hat sich als schwierig erwiesen. S2 hat schon erste Ansätze mündlich formulieren können, die Tipp-Karten wurden dann zur Unterstützung schrittweise vorgelegt. Zu einer Aufnahme in Form einer Sprachnachricht ist es jedoch nicht gekommen. Auffällig war, dass das Formulieren Schwierigkeiten bereitet hat und gefestigt werden müsste. Das Ergebnis der Durchführung mit S2 war aber insgesamt sehr zufriedenstellend.

Literatur

• Brunner, E. (2014). Mathematisches Argumentieren, Begründen und Beweisen. Grundlagen, Befunde und Konzepte. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag.
• Krauthausen, G. & Scherer, P. (2007). Einführung in die Mathematikdidaktik. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag.
• Ministerium für Bildung, Familie, Frauen und Kultur. (2009). Kernlehrplan Mathematik Grundschule. Verfügbar unter: https://www.saarland.de/SharedDocs/Downloads/DE/mbk/Lehrplaene/Lehrplaene_Grundschule/GS_Kernlehrplan_Mathematik.pdf?__blob=publicationFile&v=1 [Stand: 15.08.2021].
• Müller, F. (2012). Differenzierung in heterogenen Lerngruppen. Schwalbach: Debus Pädagogik Verlag.
• Padberg, F. & Benz, C. (2011). Didaktik der Arithmetik für Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag.
• Schnell, S., Schorcht, S., Kimmel, V., Gafiuk, L. & Hundemer, L. (2020). Mathe-KLIPS: Videos zu mathematischen Kompetenzen für das Lehramt in der Primarstufe: Ergänzungsmaterial Zahlzerlegung. Online-Veröffentlichung. Gießen: Justus-Liebig-Universität & Frankfurt: Goethe-Universität.
• Stylianides, A. (2016). A Categorization of Proving Tasks. In: Proving in The Elementary Mathematics Classrooms. Oxford: University Press.
• Toulmin, S. (1975). Der Gebrauch von Argumenten. Kronberg: Scriptor Verlag.
• Winter, H. (2003). Gute Aufgaben für das Sachrechnen. In: Baum, M. & Wielpütz, H. (Hrsg.): Mathematik in der Grundschule. Seelze: Kallmeyer Verlag.
• Wittmann, B. (1998). Design und Erforschung von Lernumgebungen als Kern der Mathematikdidaktik. In: Beiträge zur Lehrerbildung, 16 (3), S. 329-342.

Abbildungsverzeichnis:

• Hintergrund Textkarten: https://pixabay.com/de/illustrations/papier-pergament-stadt-787654/ [Stand: 17.08.2021].
• Abbildung Glühbirne: https://katehadfielddesigns.com/shop/image/cache//data/doodle/khadfield_ScienceTime-600x600.jpg [Stand: 17.08.2021].