Formale Aspekte

Namen der Verfasser der Lernumgebungsdokumentation

Hanna Görgen und Julia Simon

E-Mail-Adressen und Datum

Hanna Görgen: s8hagoer@stud.uni-saarland.de

Julia Simon: s8jusim2@stud.uni-saarland.de

Datum: 15.09.2021

Inhaltsaspekte

Name der Lernumgebung

"Das Geheimnis der vertauschten Ziffern"

Schatzkiste mit dem Namen der Lernumgebung

Kurzbeschreibung der Lernumgebung

Welche didaktische Motivation liegt der Lernumgebung zu Grunde?

Die Lernumgebung orientiert sich im Sinne der Gegenwartsbedeutung nach Klafki (1962, S. 16) an dem natürlichen Forscherdrang von Kindern und bietet vor dem Hintergrund der exemplarischen Bedeutung (Klafki, 1962, S. 15) die Möglichkeit, an Aufgaben mit mathematischen Inhalten – hier dem Entdecken des Geheimnisses der vertauschten Ziffern – zu forschen. Auf diese Weise erhält das Kind Einblicke in die Leitidee „Muster und Strukturen“ der Arithmetik (Heckmann & Padberg, 2014, S. 161) und lernt die Mathematik als die „Wissenschaft der Muster“ (Wittmann, 2014, S. 213) kennen. Mit Blick auf die Zukunftsbedeutung (Klafki, 1962, S. 17) lässt sich sagen, dass das Entdecken und Beschreiben von Strukturen einen zentralen Bestandteil der Mathematik darstellt, dem das Kind im Laufe seiner Schulzeit immer wieder im Zuge des Mathematikunterrichts begegnen wird. Für Kinder kann es nicht nur im mathematischen, sondern auch im außermathematischen Bereich eine Zeit- und Energieersparnis darstellen, wenn sie Muster und Strukturen erkennen und nutzen. So kann dies beispielsweise, speziell im mathematischen Bereich, eine Ersparnis des eigentlichen Rechnens darstellen, wenn Ergebnisse vorab von dem Kind „gesehen“ werden oder die Kinder auf Ergebnisse aufgrund von Regelmäßigkeiten schließen können (vgl. hierzu genauer Was sind markante Eckpunkte der Lernumgebung?). Aus diesen Schilderungen wird deutlich, dass der Fokus der Lernumgebung auf der Leitidee „Muster und Strukturen“ liegt. Nichtsdestotrotz ist damit unweigerlich die Leitidee „Zahlen und Operationen“ verbunden, indem diese Muster und Strukturen auf der Rechenoperation „Subtraktion“ und der Kenntnis von Zahlbeziehungen beruhen. Der Lernumgebung liegt weiterhin eine didaktische Reduktion zugrunde. Das Phänomen, dass das Ergebnis aus der Subtraktion zweier mehrstelliger Spiegelzahlen immer ein Vielfaches einer bestimmten Zahl ist, trifft auf alle mehrstelligen Spiegelzahlen zu. Jedoch wird in unserer Lernumgebung der Zahlenraum qualitativ reduziert, indem sich auf zweistellige Spiegelzahlen beschränkt wird, wobei das Ergebnis der Subtraktion zweier zweistelliger Spiegelzahlen mit unterschiedlichen Ziffern immer ein Vielfaches von 9 ist. Zudem findet insofern eine qualitative Reduktion statt, als dass eine beispielgebundene Beweisstrategie und keine Begründung mit Variablen von dem Kind erwartet wird – das heißt, die ausführliche Argumentation bei zwei beliebigen Spiegelzahlen, z.B. 27 und 72, liefert eine Strategie, wie bei allen übrigen zweistelligen Spiegelzahlen vorgegangen werden kann, um auf diese Weise die Gültigkeit für alle zweistellige Spiegelzahlen zu zeigen. Dies entspricht dem Anspruch eines beispielgebundenen Beweises nach Krumsdorf (2015, S. 338), welcher wie folgt lautet: „Der Lernende realisiert den Beweis subjektiv, wenn er am Besonderen der Beispiele das Allgemeingültige erkennt und sich damit von den Besonderheiten der Beispiele allmählich löst.“

Welches Ziel verfolgt die Lernumgebung? (Welche Lehrziele verfolgt die Lernumgebung?)

Grobziel: Das Kind erkennt arithmetische Muster und Strukturen am Beispiel der Subtraktion von zwei zweistelligen Spiegelzahlen, indem es den Zusammenhang zwischen dem Ergebnis der Subtraktion zweier Spiegelzahlen und den Ziffern der Spiegelzahlen herausstellt und daraufhin an einem selbstgewählten Material beweist.

Inhaltsbezogene Feinziele: Das Kind…

FZ 1: … wiederholt die für den Beweis zentralen Begriffe, indem es die Begriffe „Spiegelzahl“, „Ziffer“ und „Vielfaches“ definiert. (Aufgabe 1)

FZ 2: … erkennt, dass das Ergebnis der Subtraktion aus einer zweistelligen Zahl mit unterschiedlichen Ziffern und ihrer Spiegelzahl immer ein Vielfaches von 9 ist, indem es mehrmals mithilfe von Ziffernkarten zweistellige Zahlen und ihre Spiegelzahlen legt und die kleinere von der größeren Zahl schriftlich subtrahiert. (Aufgabe 2)

FZ 3: … entdeckt, dass eine Abhängigkeit zwischen dem Vielfachen von 9 des Ergebnisses und dem Unterschied zwischen Zehner- und Einerziffer beim Minuenden bzw. Subtrahenden besteht, indem es die in Aufgabe 2 berechneten Aufgaben nach der Größe ihrer Ergebnisse sortiert und miteinander vergleicht. (Aufgabe 3)

FZ 4: … überprüft die Gültigkeit der Feststellung aus Aufgabe 3, indem es die Regelmäßigkeit anhand eines selbstgewählten generischen Beispiels unter möglicher Zuhilfenahme des bereitgestellten Materials (Hundertertafel oder Stellentafel) beweist. (Aufgabe 4)

Allgemeine/Prozessbezogene Feinlernziele: Das Kind…

FZ 1: … erkennt Zusammenhänge bei der Bearbeitung problemhaltiger Aufgaben und entwickelt in diesem Zusammen-hang Lösungsstrategien, indem es die berechneten Ergebnisse aus mehreren Subtraktionsaufgaben mit zwei zweistelligen Spiegelzahlen mit unterschiedlichen Ziffern vergleicht und den erkannten Zusammenhang zwischen dem Vielfachen von 9 des Ergebnisses und dem Unterschied zwischen Zehner- und Einerziffer beim Minuenden bzw. Subtrahenden anhand eines selbstgewählten Beispiels beweist. (Problemlösen, Argumentieren)

FZ 2: … verwendet mathematische Fachbegriffe sachgerecht und beschreibt eigene Vorgehensweisen, indem es die für den Beweis relevanten Fachbegriffe erklärt und unter Verwendung ebendieser sein Vorgehen bei den einzelnen Teilaufgaben für die Interviewerin verständlich verbalisiert. (Kommunizieren)

FZ 3: … entwickelt und nutzt für das Bearbeiten mathematischer Probleme geeignete Darstellungen, indem es die mit Ziffernkarten gebildeten Subtraktionsaufgaben strukturiert notiert und die Hunderter- bzw. Stellentafel oder eine eigene Darstellung (z.B. Rechenstrich oder Halbschriftliches Rechenverfahren) für die Beweisführung auswählt und anhand dieser seine Feststellungen durch eine anschauliche Darstellung beweist. (Darstellen)

(Saarland-Ministerium, 2009, S. 6ff.)

Was sind markante Eckpunkte der Lernumgebung?

Der Lernumgebung liegt der „Trick“ zugrunde, dass das Ergebnis der Subtraktion ohne aufwändiges Rechnen schnell ermittelt werden kann. Bei der zweistelligen Zahl 63 und ihrer Spiegelzahl 36 beträgt der Unterschied zwischen den Ziffern (Differenz der Stellenwerte) jeweils 3. Multipliziert man die Zahl 3 mit 9 erhält man das Ergebnis der Subtraktion von 63 - 36, nämlich 27.

63 - 36 = 27
6 - 3 = 3
3 • 9 = 27

Welche Arbeitsmittel/ Medien werden in der Lernumgebung eingesetzt?

In unserer Lernumgebung werden folgende Arbeitsmittel/Medien eingesetzt:

Kiste mit Titel der Lernumgebung
„altes Schriftdokument“ mit Behauptung
Aufgabenkarten mit Teilaufgaben, die die Interviewerin dem Kind im Verlauf der Unterrichtseinheit vorlegt und dann vom Kind bearbeitet werden
zwei Stapel Ziffernkarten mit je den Ziffern von 1-9 zum Legen von Subtraktionsaufgaben
Blanko-Papier zum Notieren der mit den Ziffernkarten gebildeten Aufgaben inklusive Ergebnisse
ggf. Wortspeicher, falls das Kind die für die Lernumgebung zentralen Begriffe „Spiegelzahl“, „Ziffer“ und „Vielfaches“ nicht erklären kann
ggf. Satzanfänge zur Erleichterung der Formulierung von Entdeckungen
ggf. Mehrsystemblöcke, die dem Kind das Prinzip der Zehnerbündelung erneut verdeutlichen
Hundertertafel zur Beweisführung
Stellentafel mit Plättchen zur Beweisführung

Ungefährer Zeitbedarf zur Durchführung

Für die Durchführung der Lernumgebung sind circa 45 Minuten angesetzt. Die in dieser Beweisstunde an einem selbstgewählten Beispiel bewiesene Regelmäßigkeit soll daraufhin im Optimalfall für alle zweistelligen Zahlen verallgemeinert werden. Das heißt, das Kind soll beweisen, dass seine Argumentation nicht nur für die beiden selbstgewählten Spiegelzahlen (z.B. 63 und 36) gilt, sondern für alle zweistelligen Spiegelzahlen. Völlig analog – nur durch Austausch der Ziffern – erhält das Kind zum Beispiel für 21 und 12, dass 21 - 12 = (2 - 1) • 9 gilt oder für 74 und 47, dass 74 - 47 = (7 - 4) • 9 gilt. Die ausführliche Argumentation anhand zweier Spiegelzahlen (z.B. 63 und 36) liefert also konkret an diesem Beispiel eine Strategie, wie bei allen weiteren zweistelligen Spiegelzahlen vorgegangen werden kann, um auf diese Weise die Gültigkeit des Satzes „Welches Vielfache von 9 herauskommt, erkennt man am Unterschied zwischen Zehner- und Einerziffer.“ für alle zweistelligen Spiegelzahlen zu zeigen. Vor diesem Hintergrund sprechen wir in der von uns ausführlich geplanten Lernumgebung von einer beispielgebundenen Beweisstrategie. (Padberg & Büchter, 2015, S. 11)

Adressaten der Lernumgebung

Klassenstufe:

Die Lernumgebung wird mit einem Kind der 3. Klasse durchgeführt. Zwar wäre eine Durchführung mit einem Zweitklässler aufgrund des Zahlenraums bis 100 denkbar, doch wird die schriftliche Subtraktion nach dem saarländischen Kernlehrplan erst in Klassenstufe 3 eingeführt. Die Studierenden der Goethe-Universität haben uns mitgeteilt, dass sich dies im hessischen Lehrplan gleichermaßen verhält. Eine der beiden Studentinnen bestätigte, dass die schriftliche Subtraktion in der Klasse, in welcher die Lernumgebung durchgeführt wird, erst Anfang des dritten Schuljahres eingeführt wurde. Da wir uns zum jetzigen Zeitpunkt der Durchführung am Ende des dritten Schuljahres befinden, kann davon ausgegangen werden, dass sich das Kind im Zahlenraum bis 100 sicher bewegen und schriftliche Subtraktionsaufgaben in diesem Zahlenraum erfolgreich durchführen kann, sodass dem Hindernis/dem typischen Fehler „Probleme beim Subtrahieren“ (Heckmann & Padberg, 2014, S. 163) vorgebeugt wird (vgl. Didaktische Analyse) und es nicht dazu kommt, dass die restlichen Aufgabenstellungen der Lernumgebung aufgrund dieses Hindernisses nicht mehr in der vorgesehenen Zeit bearbeitet werden können.

Stehen spezielle Gruppen im Fokus der Lernumgebung?

Die Lernumgebung wurde nicht eigens für die Durchführung mit speziellen Gruppen entwickelt. Nichtsdestotrotz eignet sich die Lernumgebung gleichermaßen für mathematisch begabte Kinder wie für Kinder, die auf dem Regelstandard arbeiten. Bei mathematisch begabten Kindern ist es sogar denkbar, dass diese schneller als in der angedachten Zeit von 45 Minuten zu einer Beweisführung gelangen und im Sinne einer Differenzierung nach oben eine oder gar mehrere weiterführende Aufgabenstellungen erhalten. Für Kinder mit Rechenschwäche ist die Lernumgebung nicht speziell ausgelegt, da eine Vielzahl an mathematischen Kenntnissen zur erfolgreichen Beweisführung vorausgesetzt wird (vgl. Mathematische Analyse). So können wir uns vorstellen, dass es bei solchen Kindern schnell zu Demotivation oder gar Verweigerung führen kann, wenn diese schon zu Beginn an den schriftlichen Subtraktionsaufgaben scheitern – alle Subtraktionsaufgaben beinhalten unweigerlich eine Zehnerunterschreitung, welche für viele Kinder mit Rechenschwäche noch in der 3. Klassenstufe eine Hürde darstellt (Jacobs & Petermann, 2007, S. 87). Mit Blick auf die Inklusionskinder muss sich differenziert damit auseinandergesetzt werden, welche(n) Förderschwerpunkt(e) das spezielle Kind hat. Je nach Förderschwerpunkt ist eine Durchführung der Lernumgebung mit diesem Kind durchaus möglich. Ob die Lernumgebung mit dem Kind durchgeführt werden kann, muss im Einzelfall davon abhängig gemacht werden, ob die mathematisch notwendigen Kenntnisse vorhanden sind und ob die Konzentrationsspanne des Kindes sowie seine Fähigkeit zum ausdauernden Arbeiten es zulassen, sich circa 45 Minuten mit den Aufgaben der Lernumgebung auseinanderzusetzen.

Zentrale Aufgabenstellungen und Arbeitsaufträge in der Lernumgebung

Behauptung

Einstieg

Die Lernumgebung wird in eine Rahmengeschichte, die von einem Forscher handelt, eingebettet:

„Heute lernst du den Forscher Fitzke kennen. Fitzke hat bei Ausgrabungen zufällig eine über hundert Jahre alte Kiste entdeckt, die die Aufschrift „Das Geheimnis der vertauschten Ziffern“ hat [Die Interviewerin präsentiert dem Kind die verschlossene Kiste mit der Aufschrift]. Diese Aufschrift machte den Forscher sehr neugierig. Beim Öffnen der Kiste fand er zwei Schriftstücke. Nachdem er das erste Schriftstück genauer betrachtet hat, stellte er fest, dass es wohl von einem Mathematiker, der vor über hundert Jahren gelebt hat, stammt. Auf dem alten Papier hat der Mathematiker interessante Erkenntnisse notiert. Ich lese dir die Notizen mal vor: Zu Beginn schreibt er: ‚Ich beweise:‘. [Die Interviewerin schaut fragend und fragt das Kind: „Was meint denn der Mathematiker damit…ich beweise?“]☆. Sehr gut, jetzt weißt du, was ein Beweis ist. Das war noch nicht alles, was auf dem Papier steht. Der Mathematiker hat weiter aufgeschrieben, was er beweisen möchte, nämlich: ‚Subtrahiere ich von einer zweistelligen Zahl mit unterschiedlichen Ziffern ihre Spiegelzahl, dann ist das Ergebnis ein Vielfaches von 9. Welches Vielfache von 9 herauskommt, erkennt man…‘ Hier endet der Satz plötzlich. Wie du siehst, ist der Inhalt dieses Schriftstücks leider nicht mehr vollständig erhalten. Der Forscher möchte den Satz aber unbedingt vervollständigen und somit herausfinden, was der Mathematiker damals bewiesen hat. Leider ist Mathematik aber nicht sein Spezialgebiet, weshalb er deine Hilfe benötigt. Der Forscher hat in der Kiste noch weitere Papiere gefunden. [Die Interviewerin präsentiert dem Kind die Aufgabenkarten]. Wie es scheint, hat der Mathematiker damals Kinder in deinem Alter unterrichtet und Aufgaben für sie erstellt, die zum Glück noch vollständig sind.“

Nun wird zur ersten Aufgabe auf Aufgabenkarte 1 übergeleitet

☆Diese Frage wird gestellt, da das Kind Beweisaufgaben vermutlich nicht gewohnt sein wird. Die Intention hinter der Frage – mit Blick auf die Schülerperspektive – besteht darin, dass dem Kind das Ziel einer Beweisaufgabe vergegenwärtigt wird, damit es weiß, dass diese Lernumgebung auf das Ziel der Beweisführung hinausläuft und sich letztendlich gedanklich auf die Aufträge einstimmen kann.

Aufgabe 1

Aufgabenkarte1

Hier geht es um die Aktivierung des Vorwissens des Kindes, damit im weiteren Verlauf der Unterrichtseinheit darauf aufgebaut werden kann.

Wie wird das Kind unterstützt, wenn es einen oder mehrere Begriffe nicht erklären kann?

Sollten dem Kind ein oder mehrere Begriff(e) unbekannt oder zum Zeitpunkt der Durchführung nicht mehr gegenwärtig sein, greift die Interviewerin auf einen im Vorhinein erstellten Wortspeicher zurück, mithilfe dessen die Begriffe nochmals verständlich erklärt werden. Das Kind kann während des weiteren Verlaufs der Lernumgebung zu jedem Zeitpunkt darauf zurückgreifen, indem der Wortspeicher gut sichtbar auf dem Tisch ausgelegt wird.

Möglicher Impuls:

- „Der Mathematiker hat für seine damaligen Schüler schriftliche Begriffserklärungen angefertigt. Lies dir die Erklärung zu dem Begriff Spiegelzahl/Ziffer/Vielfaches durch und erkläre mir den Begriff anschließend in deinen eigenen Worten.“

Wortspeicher Spiegelzahl

Wortspeicher Ziffer

Wortspeicher Vielfaches

Aufgabe 2

Aufgabenkarte 2

Das Kind erhält für diese Aufgabe zwei Stapel mit Ziffernkarten mit je den Ziffern von 1 bis 9. Damit nicht der Fall eintritt, dass das Kind einzelne Ziffern doppelt verwendet und als Ausgangszahlen 11, 22, 33 etc. legt, muss die Interviewerin darauf achten, dass das Kind die beiden Stapel nicht vermischt. Dies hat den Hintergrund, dass die Spiegelzahlen zu diesen Zahlen dann identisch zur Ausgangszahl wären, wodurch bei einer Subtraktion als Ergebnis 0 herauskommen würde, was das Entdecken des Musters ggf. erschweren würde. Mit zwei Ziffernkarten des einen Stapels soll das Kind also eine zweistellige Zahl bilden. Mit den beiden Ziffernkarten des zweiten Stapels legt es daraufhin die entsprechende Spiegelzahl. Hat das Kind die Aufgabenstellung genau gelesen, wird es die kleinere von der größeren Zahl subtrahieren. Wenn nicht, sollte dieser Hinweis von der Interviewerin nochmals herausgestellt werden. Das Kind erhält zusätzlich ein leeres Blatt, um gefundene Aufgaben zu verschriftlichen, da die Ziffernkarten für weitere Aufgaben benötigt werden. Das leere Blatt weist keine Karos auf, da es bei diesem Lernangebot nicht um das exakte Notieren von Aufgaben geht und auch andere denkbare Notationsformen wie Skizzen auf einem weißen Blatt leichter angefertigt werden können. (Sollte das Kind die Aufgaben nicht von sich aus auf dem Blatt verschriftlichen, kann von der Interviewerin folgender Hinweis erfolgen: „Notiere die Zahlen auf deinem Blatt.“) Hat das Kind mehrere Subtraktionsaufgaben gerechnet, soll es nochmals genauer deren Ergebnisse betrachten und bestätigen, dass es sich bei allen um ein Vielfaches von 9 handelt. Wenn das Kind die anfängliche Behauptung des Schriftstücks noch im Gedächtnis hat bzw. den Inhalt des Schriftstücks nochmal nachliest, wird es für diese Feststellung nicht viel Zeit benötigen. Ansonsten kann die Interviewerin hier auf den ersten Satz des Schriftstücks verweisen, der diese Bedingung beinhaltet.

Wie wird das Kind unterstützt, wenn es Probleme beim Berechnen der schriftlichen Subtraktionsaufgaben hat?

Empfehlenswert ist, dass die Durchführung der Lernumgebung nicht mit einem Kind, bei dem bereits bekannt ist, dass es Schwierigkeiten bei Subtraktionsaufgaben zeigt, geschehen sollte, wodurch bestenfalls gesichert werden kann, dass während des Interviews keine Schwierigkeiten bei der Subtraktion auftreten. Doch auch bei einem Kind, das die Subtraktion normalerweise gut beherrscht, können unerwarteterweise Probleme bei der Subtraktion auftreten. Als Hilfe können Mehrsystemblöcke eingesetzt werden, die dem Kind das Prinzip der Zehnerbündelung erneut verdeutlichen und vor allem bei der Zehnerunterschreitung unterstützend wirken können. (PIKAS, 2009)

Wie wird das Kind unterstützt, wenn es seine Entdeckungen nicht verbalisieren kann?

Wenn das Kind Probleme beim Verbalisieren seiner Entdeckungen in Bezug auf die ausgerechneten Differenzen hat, stellt die Interviewerin dem Kind vorformulierte Satzanfänge zur Verfügung, auf die es zu jedem Zeitpunkt zurückgreifen kann. Exemplarische Satzanfänge sind beispielsweise: „Mir ist aufgefallen, dass…“, „ Ich habe entdeckt, dass…“, „ Die Ergebnisse, die ich bisher gefunden habe…“, „Immer wenn die Aufgabe ein gleiches Ergebnis hat, …“. (PIKAS, 2009)

Mögliche Impulse:

- „Achte darauf, dass du die kleinere Zahl von der größeren Zahl subtrahierst.“

- „Auf diesem Blatt kannst du die gebildeten Aufgaben notieren.“

- „Nutze diese Satzanfänge, um deine Entdeckungen zu erklären.“

- „Führe die Subtraktion dieser Spiegelzahlen an diesem Material durch.“ (Kind erhält Mehrsystemblöcke zur enaktiven, handelnden Veranschaulichung der Subtraktion)

- „In der Behauptung hat der Mathematiker schon etwas zu der Besonderheit der Ergebnisse gesagt.“

- „Vergleiche die Ergebnisse. Was haben alle Ergebnisse gemeinsam?“

- „Untersuche die Ergebnisse im Hinblick auf ihr Vielfaches.“

Überleitung:

"Woran erkennst du, welches Vielfache von 9 herauskommt?"

Nun wird auf den unvollständigen Satz auf dem Schriftstück zurückgekommen. Dabei wird die konkrete Frage gestellt: „Woran erkennst du, welches Vielfache von 9 herauskommt?“. Hier ist es wichtig, dem Kind kurz Zeit zu geben, selbst zu über-legen. Sollte die Interviewerin merken, dass es allein nicht weiterkommt, wird zur nächsten Aufgabe hingeleitet. Sollte das Kind selbst den richtigen Erklärungsansatz finden (welches Vielfache von 9 herauskommt, ist abhängig von dem Unterschied zwischen den Ziffern der Zahl), kann die nächste Aufgabe 3 übersprungen werden.

Aufgabe 3

Aufgabenkarte 3

Die vorliegende Aufgabe, das Sortieren der Aufgaben nach der Größe ihrer ausgerechneten Differenzen, hat zum Ziel, dem Kind das Erkennen der Abhängigkeit zwischen dem Unterschied der Zehner- und Einerziffern der Spiegelzahlen und dem errechneten Vielfachen von 9 zu erleichtern und damit die Behauptung zu vervollständigen. Wenn die Aufgaben mit den gleichen Ergebnissen kompakt beieinanderstehen, ist es einfacher, den Zusammenhang zur Zifferndifferenz zu erkennen, da dieser so leichter ins Auge fällt.

Wie wird das Kind unterstützt, wenn es noch immer nicht die Abhängigkeit zwischen dem Unterschied der Zehner- und Einerziffern der Spiegelzahlen und dem errechneten Vielfachen von 9 erkennt?

In diesem Fall muss die Interviewerin durch gezielte, situationsabhängige Impulse lenken.

Mögliche Impulse:

- „Schaue dir das Ergebnis und den Unterschied zwischen den Ziffern der Spiegelzahlen an.“

- „Schreibe den Unterschied zwischen den Ziffern der Spiegelzahlen neben die Ergebnisse.“

Aufgabe 4

Aufgabenkarte 4

Die im Verlauf von Aufgabe 3 oder bereits vor Aufgabe 3 getroffene Feststellung über den Zusammenhang des Vielfachen von 9 des Ergebnisses mit dem Ziffernunterschied beim Minuenden/Subtrahenden, soll nun an einem konkreten, vom Kind selbstgewählten Beispiel bewiesen werden. Die Interviewerin platziert die Materialien auf dem Tisch und das Kind darf sie in Ruhe betrachten. Bei den Materialien handelt es sich um eine Hundertertafel und um eine analoge Stellentafel mit Plättchen. Die Materialien müssen jedoch nicht verpflichtend vom Kind genutzt werden und können als Hilfe dienen. Andere Lösungswege (z.B. Beweisführung mithilfe des halbschriftlichen Rechnens oder mithilfe des Rechenstriches) des Kindes sind denkbar und werden selbstverständlich ebenso akzeptiert.

Welche Möglichkeiten gibt es, die Aufgabe zu lösen? (PIKAS, 2009)

Hundertertafel (Beispiel mit 36 und 63):

Wählt das Kind die Hundertertafel, wird es dazu angeregt, auf dieser die selbstgewählte Zahl und ihre Spiegelzahl zu markieren. So lässt sich erkennen, dass dieses Zahlenpaar auf der Tafel in einer Diagonalen liegt. Von der kleineren zur größeren Zahl bewegt man sich, indem man auf der Hundertertafel ein Feld nach links (- 1) und dann ein Feld nach unten (+ 10), diagonal gesehen also um + 9 geht. Der Ziffernunterschied der Ausgangszahl bzw. Spiegelzahl zeigt an, wie viele Felder in der jeweiligen Diagonalen überbrückt werden müssen.

Hundertertafel

(selbst erstellt; nach PIKAS, 2009)

Stellentafel (Beispiel mit 36 und 63):

Die gewählte Ausgangszahl wird mit Plättchen in der Stellentafel gelegt (hier wird die Zahl 36 mit drei Plättchen in der Zehnerspalte und sechs Plättchen in der Einer-spalte gelegt). Soll die Spiegelzahl gebildet werden, müssen nun Plättchen verschoben werden. Wird ein Plättchen aus der Einer- in die Zehnerspalte geschoben, wird ein Einer entfernt (-1) und ein Zehner (+10) hinzugefügt. Dies entspricht in der Summe einer Veränderung von +9. Der Ziffernunterschied der Ausgangszahl gibt jeweils an, wie viele Plättchen man verschieben muss, um zur Spiegelzahl zu gelangen.

Stellentafel

(selbst erstellt; nach PIKAS, 2009)

Halbschriftliches Rechenverfahren (Beispiel mit 36 und 63):

Das halbschriftliche Rechenverfahren nach dem Motto „Stellenwerte separat“ stellt eine dritte Möglichkeit zur Verdeutlichung dar. Allerdings erachten wir dieses Verfahren für eine(n) Drittklässler(in) als weniger geeignet im Vergleich zu den anderen Verfahren, da bei Subtraktion der Einer stets ein negatives Ergebnis herauskommt.

Halbschriftliches Rechenverfahren

(selbst erstellt; nach PIKAS, 2009)

Rechenstrich (Beispiel mit 36 und 63):

Möchte man von der Zahl xy zur Zahl yx gelangen, wobei gilt, dass x < y, springt man y - x Zehner zur Zahl yy. Von yy aus geht man dann y - x Schritte zurück zur Zahl yx. Der Unterschied beträgt demnach (y - x) • 10 - (y - x) = (y - x) • 9 Das bedeutet: Am Rechenstrich lässt sich zeigen, dass für jeden Zehner, der addiert wird, jeweils ein Einer abgezogen werden muss. Am Beispiel des Ziffernunterschieds 3 (bei 63 - 36) muss man demnach 3 Zehner nach vorne und 3 Einer zurückgehen.

Rechenstrich

(selbst erstellt; nach PIKAS, 2009)

Zu den einzelnen Vorgehensweisen können vorab keine festen Impulse definiert werden. Hier muss die Interviewerin spontan auf die Handlungen des Kindes reagieren. Allgemeine Impulse, die auf alle Vorgehensweisen angewendet werden können, lauten jedoch:

- „Erkläre dein Vorgehen.“

- „Kannst du mir das noch näher erklären?“

- „Warum tust du das?“

Technische Voraussetzungen

Da in der geplanten Lernumgebung nur analoge Materialien eingesetzt werden, ist die gelingende Durchführung nicht von technischen Gegebenheiten abhängig. Voraussetzung ist lediglich, dass die Materialien vorbereitet zum Interview mitgebracht werden und der Arbeitsplatz eine ausreichende Größe besitzt, um die potenziell zu verwendenden Materialien übersichtlich zu präsentieren.

Mathematischer Gehalt der Lernumgebung

Mathematische Analyse

Fachlicher Hintergrund:

Eine zweistellige Zahl besteht aus Zehnern (Z) und Einern (E). Bildet man die Spiegelzahl (auch Umkehrzahl genannt) einer zweistelligen Zahl, werden Zehner und Einer vertauscht, aus den Zehnern werden also Einer und umgekehrt. So ist 17 die Spiegelzahl der zweistelligen Ausgangszahl 71. Bei 17 steht die 1 für einen Zehner, bei 71 aber für einen Einer. Bei 17 steht die 7 für sieben Einer, bei 71 allerdings für sieben Zehner. Bei der Subtraktionsaufgabe 71 - 17 = 54 wird 71 als Minuend, 17 als Subtrahend und das Ergebnis 54 als Differenz bezeichnet. Der Minuend ist also die Zahl, von der abgezogen wird, der Subtrahend ist die Zahl, die abgezogen wird und die Differenz ist das Ergebnis einer Subtraktion. In der vorliegenden Lernumgebung wird vorausgesetzt, dass die beiden Ziffern sich voneinander unterscheiden (ansonsten würden die beiden Spiegelzahlen übereinstimmen, z.B. 77 = 77) und keine der beiden Ziffern 0 ist (ansonsten wäre die Spiegelzahl von 50 die Zahl „05“).

Bei der Ausgangszahl (Beispiel 71) sei a die Zehnerziffer, b die Einerziffer, dann lässt sich die Ausgangszahl darstellen als 10a + b, die Spiegelzahl (Beispiel 17) als 10b + a. Für die Differenz c gilt also:

(10a + b) - (10b + a)     = c
10a + b - 10b - a         = c
9a - 9b                   = c
9(a - b)                  = c

Wenn der Wert der Differenz von a und b 1 beträgt, dann beträgt der Differenzwert c des gesamten Terms 1 • 9.

Wenn der Wert der Differenz von a und b 2 beträgt, dann beträgt der Differenzwert c des gesamten Terms 2 • 9.

Wenn der Wert der Differenz von a und b 3 beträgt, dann beträgt der Differenzwert c des gesamten Terms 3 • 9.

et cetera.

Zahlenbeispiele:

76 - 67 
                        ⇒   (a = 7; b = 6); (a - b = 1)
76 - 67 = 9 (= 1 • 9)

42 - 24 
                        ⇒   (a = 4; b = 2); (a - b = 2)
42 - 24 = 18 (= 2 • 9)

Im Ganzen ergeben sich neun Aufgaben mit dem Ergebnis 9, acht Aufgaben mit dem Ergebnis 18, sieben Aufgaben mit dem Ergebnis 27, sechs Aufgaben mit dem Ergebnis 36, fünf Aufgaben mit dem Ergebnis 45, vier Aufgaben mit dem Ergebnis 54, drei Aufgaben mit dem Ergebnis 63, zwei Aufgaben mit dem Ergebnis 72 und eine Aufgabe mit dem Ergebnis 81. (Heckmann & Padberg, 2014, S. 157ff.; Padberg & Büchter, 2015, S. 9ff.)

Mathematische Kenntnisse, die seitens des Kindes notwendig sind, um die Aufgaben lösen zu können:

- Zahldarstellung und Zahlbeziehungen verstehen: Zahlen bis 100 darstellen, lesen, schreiben, ordnen und vergleichen; bei zweistelligen Zahlen das Prinzip der Zehnerbündelung und die Stellenwertschreibweise kennen (Saarland-Ministerium, 2009, S. 8)

- Rechenoperationen verstehen und beherrschen:

• Grundvorstellungen zur Subtraktion im Zahlenraum bis 100 (Saarland-Ministerium, 2009, S. 8)

• mathematische Fachbegriffe kennen und anwenden: subtrahieren/Subtraktion (Saarland-Ministerium, 2009, S. 15)

• das schriftliche Rechenverfahren der Subtraktion mit einem Subtrahenden beherrschen (Saarland-Ministerium, 2009, S. 15)

- ggf. bei Nutzung des halbschriftlichen Rechenverfahrens als Hilfsmittel: Aufgaben mit zwei Teilschritten halbschriftlich lösen und den eigenen Rechenweg erklären können (Saarland-Ministerium, 2009, S. 9)

- ggf. bei Nutzung der Hundertertafel als Hilfsmittel: Strukturierte Zahldarstellungen verstehen und nutzen (Zahlen in der Hundertertafel) (Saarland-Ministerium, 2009, S. 11 und 19)

- ggf. bei Nutzung der Stellentafel als Hilfsmittel: innerhalb der Zahldarstellung in der Stellentafel Veränderungen vornehmen und die Folgen für den Wert der Zahl beschreiben (Saarland-Ministerium, 2009, S. 15)

- ggf. bei Verallgemeinerung auf dreistellige Zahlen: Kenntnisse aus dem Zahlenraum bis 100 auf den größeren Zahlenraum bis 1000 durch Analogiebildung übertragen (Saarland-Ministerium, 2009, S. 15)

Mathematikdidaktischer Gehalt der Lernumgebung

Didaktische Analyse

Da sich unsere Lernumgebung zwar an Beispielen aus der Literatur orientiert, jedoch in großen Teilen nicht aus der Literatur übernommen wurde, kann leider nicht auf Befunde zu Vorgehensweisen in der Literatur zurückgegriffen werden. Nichtsdestotrotz wollen wir im Folgenden mögliche – für uns persönlich vorstellbare – Vorgehensweisen und Fehler bzw. Hindernisse aufführen:

- Das Kind wählt zum Bilden einer zweistelligen Zahl zwei zufällige Ziffernkarten aus. Wir können uns vorstellen, dass das Kind nicht direkt zu Beginn bewusst Ziffernkarten mit einem bestimmten Ziffernunterschied wählt.

- Es ist weiterhin vorstellbar, dass das Kind nach gewisser Zeit keine Ziffernkarten mehr auswählt, um damit die Zahlen zu bilden, sondern die Zahlen/Aufgaben ohne Einbezug der Kärtchen direkt auf das Papier notiert.

- Bereits im Verlauf von Aufgabe 2 – ohne die Aufgabenstellung von Aufgabe 3 gehört zu haben – ordnet das Kind die Aufgaben von sich aus nach Ergebnissen, was möglicherweise auf die in Aufgabe 2 enthaltene Fragestellung „Fällt dir an den Ergebnissen etwas auf?“ zurückzuführen ist. Sollte dieser Fall eintreten, fällt die erste Teilaufgabe von Aufgabe 3 „Schreibe die Aufgaben geordnet nach der Größe ihrer Ergebnisse auf.“ selbstverständlich weg.

- Möglicherweise fällt dem Kind bereits in Aufgabe 2 auf die Frage „Fällt dir an den Ergebnissen etwas auf?“ – über die Entdeckung, dass es sich jeweils um Vielfache von 9 handelt, hinaus – auf, dass das Vielfache von 9 von dem Unterschied zwischen den Ziffern der Zahl abhängig ist. In diesem Fall kann die nächste Aufgabe 3 gänzlich übersprungen werden.

- Bei Aufgabe 3 ist es denkbar, dass das Kind die Aufgaben inklusive Ergebnisse von groß nach klein oder umgekehrt sortiert und aufschreibt oder aber, dass es den Operator „Schreibe auf“ (un-)bewusst ignoriert und stattdessen die Vielfachen von 9 in unterschiedlichen Farben markiert/einkreist (z.B. die Aufgaben mit Ergebnis neun werden rot markiert, die Aufgaben mit Ergebnis 18 werden grün markiert usw.)

- Soll das Kind eine Erklärung finden, woran man das Vielfache des Ergebnisses auch ohne Durchführung der Subtraktion erkennen kann, ist vorstellbar, dass es seine Betrachtung auf die Ergebnisse fokussiert und den Minuenden/Subtrahenden und den ausschlaggebenden Ziffernunterschied nicht betrachtet.

- Ebenfalls ist hier denkbar, dass das Kind den Minuenden bzw. Subtrahenden zwar genauer betrachtet, jedoch nicht den Ziffernunterschied als den ausschlaggebenden Aspekt erkennt, sondern die Wertigkeit des Minuenden zur Begründung heranzieht. Dieser Fall ist denkbar, wenn das Kind zufällig Zahlen mit kleiner Wertigkeit bildet, deren Ziffernunterschied ebenfalls zufällig gering ist und Zahlen mit großer Wertigkeit bildet, deren Ziffernunterschied zufällig groß ist. Beispiel: Das Kind rechnet 21 - 12 = 9 und 32 - 23 = 9 und 81 - 18 = 63 und 91 - 19 = 72.

Das Kind könnte anhand dieser Beispiele fälschlicherweise annehmen, dass ein kleiner Minuend (z. B. 21) zu einem kleinen Ergebnis und ein großer Minuend (z. B. 91) zu einem großen Ergebnis führt. Doch dies ist in diesen Beispielen nur auf die zufällig gewählten Ziffernunterschiede zurückzuführen und nicht auf die Wertigkeit des Minuenden.

- Zudem ist (wenn auch eher unwahrscheinlich) denkbar, dass das Kind bei Aufgabe 3 in Bezug auf die Frage „Kannst du jetzt erklären, wann welches Vielfache von 9 herauskommt?“ über die Feststellung der Abhängigkeit des ausgerechneten Vielfachen vom Ziffernunterschied hinaus ohne weitere „Aufforderung“ zur Beweisführung – die in Aufgabe 4 folgt – mit dem Beweisen der Gültigkeit seiner Feststellung beginnt und sich ggf. bei der Interviewerin passendes Material (z.B. eine Stellentafel oder Hundertertafel) verlangt.

- Mit Blick auf Aufgabe 4 sind verschiedene Vorgehensweisen denkbar: die Beweisführung anhand der Stellentafel, der Hundertertafel, dem Rechenstrich oder mithilfe des halbschriftlichen Rechenverfahrens. Denkbar ist hier auch, dass das Kind nicht nur an einem Zahlenbeispiel (z.B. 94 - 49) beweist, sondern sich zwischendurch für ein anderes Zahlenbeispiel (z.B. 21 - 12) umentscheidet. Ebenfalls ist denkbar, dass es im Verlauf seiner Beweisführung seine Vorgehensweise bzw. das Material ändert.

„Gute“ Aufgaben & Differenzierung

Analyse der Aufgabenstellungen und Arbeitsaufträge nach den Kriterien „guter“ Aufgaben zum Lernen

Laut Maier (2011, zit. nach Platz, 2020, S. 45f.) lassen sich folgende mathematikdidaktischen Charakteristika „guter“ Aufgaben anführen:

Mathematische Ergiebigkeit (Kompetenzorientierung):

In der Auseinandersetzung mit den Inhalten der Lernumgebung werden sowohl inhaltsbezogene Kompetenzen bzw. grundlegende Leitideen als auch allgemeine bzw. prozessbezogene Kompetenzen gefördert. Unter den fünf Leitideen für den Mathematikunterricht der Primarstufe werden insbesondere die beiden Bereiche „Muster und Strukturen“ sowie „Zahlen und Operationen“ durch die konzipierten Aufgaben angeregt. Auf eine tiefergehende Erläuterung dieser genannten inhaltsbezogenen und allgemeinen Kompetenzen kann an dieser Stelle verzichtet werden, da diese bereits zu Beginn dieses Steckbriefs (vgl. Welche didaktische Motivation liegt der Lernumgebung zu Grunde? und Welches Ziel verfolgt die Lernumgebung? (Welche Lehrziele verfolgt die Lernumgebung?)) ausführlich dargestellt wurden.

Offenheit und „optimale“ Passung:

Mit Blick auf die Offenheit und die Gewährleistung einer erfolgreichen Erkundung wird das Kind in unserer Lernumgebung zu verschiedenen Lösungswegen und Darstellungsformen angeregt. Zum einen wird ihm freigestellt, mit welchen Ziffernkombinationen es zu Beginn Subtraktionsaufgaben bildet und welches Zahlenbeispiel es für die Beweisführung wählt. Wir bieten zudem bewusst leere Blätter ohne Karos an, weil es uns bei diesem Lernangebot nicht um das exakte Notieren von Aufgaben geht und weil andere mögliche Notationsformen wie Skizzen auf einem weißen Blatt leichter angefertigt werden können. Weiterhin ist es frei bei der Wahl der Materialien bzw. Vorgehensweise für die Beweisführung. So hat die praktische Durchführung gezeigt, dass sogar an einem Material verschiedene Vorgehensweisen möglich sind: So griffen beide interviewten Kinder – für die praktische Erprobung wurden nacheinander ein Junge und Mädchen einzeln interviewt – für die Beweisführung auf die Hundertertafel zurück. Der Junge markierte zunächst seine selbstgewählte Zahl 52 und ihre Spiegelzahl 25. Dieses Zahlenpaar liegt auf der Hundertertafel in einer „Diagonalen“. Von der kleineren zur größeren Zahl bewegt man sich, indem man ein Feld nach links (- 1) und dann ein Feld nach unten (+ 10) geht, sich diagonal gesehen also um + 9 bewegt. Der Ziffernunterschied der Ausgangszahl bzw. Spiegelzahl zeigt an, wie viele Felder in der Diagonalen überbrückt werden müssen, in diesem Beispiel wären es 3. Wird dann diese Zahl 3 mit 9 multipliziert, so erhält man 27. Dies entspricht wiederum dem Ergebnis der Subtraktion aus 52 – 25. Das Mädchen hat hingegen nicht den Weg über die Diagonale gewählt, sondern ist stattdessen zunächst 3 Felder nach unten und dann 3 Felder nach links gegangen. Dabei erkannte es, dass es für jedes Feld, für welches es sich nach unten bewegte, sich im Anschluss ein Feld nach links bewegen musste. Im Endeffekt kamen beide Kinder trotz ihrer unterschiedlichen Vorgehensweisen zu dem gleichen Ergebnis, nämlich 3 • 9 = 27. Um eine „optimale“ Passung zu bieten, wird auf vorab niveaudifferenzierte Aufgaben verzichtet, das heißt alle Kinder arbeiten an den gleichen Aufgaben. Dennoch werden im Sinne einer optimalen Passung der Anforderungen und der Leistungsfähigkeit des Kindes Differenzierungsmaßnahmen mitbedacht, welche laut Maier (2011, zit. nach Platz, 2020, S. 46) „unerlässlich“ sind (vgl. hierzu genauer Welche Art der Differenzierung wird in der Lernumgebung umgesetzt?).

Authentizität, Aktivierung und Motivation:

Grundlegend lässt sich dieses Charakteristikum „guter“ Aufgaben in unserer Lernumgebung durch die Einbettung in die Rahmenhandlung, dass ein Forscher eine Kiste mit der Aufschrift „Das Geheimnis der vertauschten Ziffern“ findet, in der sich Schriftstücke eines Mathematikers des letzten Jahrhunderts befinden, wiederfinden. Diese Rahmengeschichte soll für das Kind motivierend wirken und zum Anlass werden, sich mit den Inhalten der Lernumgebung zu beschäftigen (Hartinger & Fölling-Albers, 2002, S. 9). Zudem soll die Einbettung einer möglichen Abwehrhaltung bzw. Distanzierung gegen-über den Inhalten und Aufgaben der Lernumgebung entgegenwirken. Das Schriftstück und die Aufgaben, die sich um das „Geheimnis der vertauschten Ziffern“ drehen, sollen das Kind dazu bewegen, herausfinden zu wollen, um welches Geheimnis es sich handelt und um somit den unvollständigen Satz auf dem alten Schriftstück vervollständigen zu können. Wie zu Beginn des vorliegenden Steckbriefs beschrieben, ermöglicht diese Lernumgebung, die Mathematik als „Wissenschaft der Muster“ wahrzunehmen, was dem Faktor der Authentizität dieser Lernumgebung ebenfalls zuspielt.

Verständlichkeit:

Prinzipiell wurde bei der Formulierung der Aufgabenstellungen darauf geachtet, dass diese keine unbekannten Begriffe enthalten und auf komplexe Satzstrukturen verzichtet wurde, damit die Bearbeitung der Lernumgebung nicht an den sprachlichen Kompetenzen des Kindes scheitert. Da es sich aufgrund der schriftlichen Aufgabenstellungen doch um eine recht große Menge an Text handelt, wäre es möglich, dass die Interviewerin dem Kind – falls bei diesem eine unzureichende Lesekompetenz vorliegt – die Aufgabenstellungen vorliest.

Welche Art der Differenzierung wird in der Lernumgebung umgesetzt?

Den Ansprüchen einer substanziellen Lernumgebung nach Krauthausen und Scherer (2019, S. 111) folgend, ist die Lernumgebung so konzipiert, dass alle Kinder, mit denen die Lernumgebung praktisch durchgeführt wird, an den gleichen Aufgaben arbeiten und auf vorab niveaudifferenzierte Aufgaben verzichtet wird. Stattdessen ist in unserer Lernumgebung der Einsatz qualitativer und quantitativer Differenzierungsmaßnahmen möglich.

Qualitative Differenzierung:

- Wie in Abschnitt Didaktische Analyse bereits angeführt, können sich Zahlendreher bzw. Unklarheiten über die Bezeichnungen und Wertigkeiten der Zehner- und Einerziffern als Hindernis ergeben. Insbesondere dann, wenn das Kind am Ende mithilfe des zur Verfügung gestellten Materials beweisen soll, kann es für es schnell zu einer Erschwernis werden, wenn es ein mangelndes Stellenwertverständnis besitzt, das für eine fundierte Erklärung dieses Beweises jedoch nötig ist. Als Hilfe ist der Einsatz von Mehrsystemblöcken denkbar, die dem Kind das Prinzip der Zehnerbündelung erneut verdeutlichen können. (PIKAS, 2009)

- Laut Krauthausen (2018, S. 115) müssen entdeckte Sachverhalte und Zusammenhänge unbedingt sprachlich reflektiert werden, um diese bei folgenden Argumentationen nutzen zu können. Dabei schlägt er den Einsatz sogenannter „Werkzeuge zur Bewusstmachung“ vor, wie beispielsweise Wortspeicher zum Thema oder Satzanfänge bzw. Satzmuster, um das Kind beim Verbalisieren seiner Entdeckungen zu unterstützen:

→ Wie in Abschnitt Zentrale Aufgabenstellungen und Arbeitsaufträge in der Lernumgebung bereits angeführt, stellt die Interviewerin dem Kind – wenn es Probleme beim Verbalisieren seiner Entdeckungen in Bezug auf die ausgerechneten Differenzen hat – vorformulierte Satzanfänge zur Verfügung, auf die es zu jedem Zeitpunkt zurückgreifen kann. Exemplarische Satzanfänge sind beispielsweise: „Mir ist aufgefallen, dass…“, „ Ich habe entdeckt, dass…“, „ Die Ergebnisse, die ich bisher gefunden habe…“, „Immer wenn die Aufgabe ein gleiches Ergebnis hat, …“. (Krauthausen, 2018, S. 115; PIKAS, 2009).

→ Wie in Abschnitt Zentrale Aufgabenstellungen und Arbeitsaufträge in der Lernumgebung bereits angeführt, greift die Interviewerin – sollten dem Kind bei Aufgabe 1 ein oder mehrere Begriff(e) unbekannt sein oder zum Zeitpunkt der Durchführung nicht mehr gegenwärtig sein – auf einen im Vorhinein erstellten Wortspeicher zurück, mithilfe dessen die Begriffe nochmal verständlich erklärt werden. Das Kind kann während des weiteren Verlaufs der Lernumgebung zu jedem Zeitpunkt darauf zurückgreifen (Krauthausen, 2018, S. 115).

Quantitative Differenzierung:

Sollte das Kind die Beweisführung bereits vor Ende der geplanten 45 Minuten erfolgreich durchgeführt haben und die Interviewerin merken, dass das Kind noch ausdauernd und konzentriert genug ist, so ist es denkbar, von einer der im unteren Abschnitt Bietet die Lernumgebung Beziehungen zu anderen Strategien im selben mathematischen Problemfeld? angeführten weiterführenden Aufgabenstellungen Gebrauch zu machen, sodass das Kind im Sinne einer quantitativen Differenzierung „die gleiche Zeit für unterschiedlichen Inhaltsumfang“ hat (Krauthausen & Scherer, 2010, S. 4).

Artikulation, Kommunikation, Soziale Organisation

Inwiefern werden die Artikulationsoptionen Handeln, Sprechen und Schreiben ausgenutzt?

Alle drei Artikulationsoptionen „Handeln“, „Sprechen“ und „Schreiben“ erfahren in dieser Lernumgebung Berücksichtigung.

- Handeln: Das Kind führt eine enaktive Tätigkeit aus, indem es zunächst zweistellige Zahlen und die entsprechenden Spiegelzahlen mit den Ziffernkarten legt. Auch beim Verschieben von Plättchen in der Stellentafel – insofern es sich für diese Option entschieden hat – handelt es enaktiv.

- Sprechen: Da die Durchführung der Lernumgebung auf ein klinisches Einzelinterview ausgelegt wurde, steht die Artikulation des Kindes hier stark im Zentrum. Es kann zu jedem Zeitpunkt von sich aus seine Gedanken äußern, seine Strategien und Vorgehensweisen darlegen oder auch Nachfragen stellen und Unsicherheiten ausdrücken. Durch hilfreiche und angemessene Impulse kann und sollte die Interviewerin weiterhin zum Kommunizieren anregen.

- Schreiben: Zum Schreiben bzw. Notieren wird das Kind konkret in Aufgabenstellung 3 aufgefordert, indem es die Ergebnisse in sortierter Form erneut aufschreiben soll. Auch in Aufgabenstellung 2 ist – wenn auch nicht auf der Aufgabenkarte verschriftlicht – ein Notieren der gebildeten Subtraktionsaufgaben aus einer Zahl und ihrer Spiegelzahl sinnvoll. Es ist davon auszugehen, dass das Kind die Aufgaben bereits ohne Aufforderung auf das leere Blatt schreibt, falls nicht, kann von der Interviewerin ein kurzer Hinweis erfolgen.

Wird Raum zum Gestalten und Raum zum Behalten gelassen?

Ein ausreichender Raum zum Gestalten und Behalten ist vor allem von der Gestaltung und dem Ablauf des klinischen Interviews abhängig, das heißt, das Verhalten und die Impulse der Interviewerin spielen eine essenzielle Rolle. Im Rahmen der theoretischen Planung der Lernumgebung wurde die Eröffnung eines Raums zum Gestalten und Behalten allerdings bereits berücksichtigt, indem dem Kind weiße Blätter zur Notation zur Verfügung gestellt. Der Raum zum Gestalten besteht zudem darin, dass es verschiedene Möglichkeiten zur Beweisführung gibt, auf die das Kind zurückgreifen kann, sowie dass es anderweitige Vorgehensweisen bei der Beweisführung ausführen kann, die von uns im Rahmen der theoretischen Planung noch nicht mitbedacht wurden.

Welche Sozialformen werden verwendet?

Da die Lernumgebung aufgrund der aktuellen Covid19-Pandemie für die Durchführung mit einem einzigen Kind – im Sinne eines Einzelinterviews – geplant wurde, werden außer der Einzelarbeit keine anderen Sozialformen wie Partner- oder Gruppenarbeit verwendet. Könnte die geplante Lernumgebung in Zukunft bei Gelegenheit jedoch in einem ganzen Klassenverband erprobt werden, würde sie in Bezug auf die Sozialformen angepasst werden. Somit wäre es denkbar, dass der Einstieg inklusive der Vorstellung der thematischen Rahmengeschichte sowie die Begriffsklärung im Plenum erfolgen, woraufhin im weiteren Verlauf in leistungsheterogenen Gruppen an den übrigen Aufgaben, die zum Beweis hinleiten, weitergearbeitet werden kann. Die Gruppenarbeit im Klassenverband bietet sich an, da die Lehrperson bei Durchführung mit einer ganzen Klasse nicht – wie im geplanten Einzelinterview – mit individuellen und unmittelbar erfolgenden Impulsen und Unterstützungsmaßnahmen zur Verfügung stehen kann. Stattdessen können sich die Schüler*innen in den leistungsheterogenen Gruppen im Sinne des kooperativen Lernens gegenseitig unterstützen und auf schriftliche Impulse zu den einzelnen Aufgaben zurückgreifen.

Wie wird die Schlusssequenz im Sinne einer gemeinsamen Reflexion mit den Schülerinnen und Schülern gestaltet?

Bei der Erprobung mit einem einzelnen Kind ist eine Schlusssequenz nicht erforderlich, da das Arbeiten des Kindes und seine Aussagen genau verfolgt werden können. Nach Ermessen kann das Kind am Ende jedoch dazu angeregt werden, seine Erkenntnisse und sein Handeln kurz zusammenzufassen bzw. kann es – um die thematische Einbettung nochmals aufzugreifen – dem Forscher Fitzke die vervollständigte Behauptung mündlich erklären. Würde die Lernumgebung in einer Schulklasse durchgeführt werden, wäre für eine Schlusssequenz denkbar, dass die Schüler*innen im Plenum zusammenkommen, wobei die gewonnenen Erkenntnisse zusammengetragen werden. Es können erneut gebildete Aufgaben betrachtet werden, an denen der „Trick“ aufgezeigt werden kann, es kann ein Austausch über Vorgehensweisen und Schwierigkeiten stattfinden oder ein Ausblick erfolgen.

Welche Impulse/Fragen begleiten die einzelnen Phasen des Interagierens mit der Lernumgebung?

Da wir die Ausführungen der Studentinnen aus Frankfurt nicht erhalten haben, können leider keine genauen Angaben darüber erfolgen, welche vorab angedachten oder auch spontanen, situationsabhängigen Impulse/Fragen die einzelnen Phasen des Interagierens mit der Lernumgebung begleitet haben. Daraufhin haben wir, Hanna Görgen und Julia Simon, nachträglich einige mögliche – bewusst allgemein gehaltene, auf möglichst viele Situationen und Vorgehensweisen zutreffende – Impulse formuliert, von denen wir jedoch nicht wissen, ob sie in der praktischen Erprobung tatsächlich zum Einsatz kamen (vgl. Zentrale Aufgabenstellungen und Arbeitsaufträge in der Lernumgebung).

Potenzial des Einsatzes (digitaler) Medien

Welches investive Material wird benötigt?

„Investives Material bildet einen bleibenden Bestand“ (Wollring, 2009, S. 19). Von den aufgelisteten Materialien (vgl. Welche Arbeitsmittel/ Medien werden in der Lernumgebung eingesetzt? können die Hundertertafel, die Stellentafel mit Plättchen, die Ziffernkarten und die Mehrsystemblöcke den investiven Materialien zugeordnet werden. Damit die Hundertertafel, die Stellentafel und die Ziffernkarten zum investiven Material gezählt werden können, ist die Art der Präsentation dieser Materialien zentral. So werden in unserer Lernumgebung alle drei Materialien auf ein weißes Blatt Papier gedruckt und dem Kind in laminierter Form dargeboten. Auf diese Weise werden Stellentafel, die Hundertertafel sowie die Ziffernkarten zu einer Ressource, die „sich mit vertretbarem Aufwand in der Schule selbst herstellen und bleibend nutzen lässt“ (Wollring, 2009, S. 19). Gerade für die Hundertertafel bietet sich die Darbietung in laminierter Form an, da auf diese Weise Markierungen mit einem wasserlöslichen Folienschreiber vorgenommen werden können. Eine weitere Möglichkeit wäre zudem, dass man dem Kind die Materialien statt der laminierten Variante eine aus Holz oder Hartplastik angefertigte Stellentafel und Hundertertafel vorgibt. Gerade bei der Hundertertafel würde sich diese Variante aus Hartplastik oder Holz jedoch weniger eignen, da sich Markierungen – die sich hier zur Beweisführung sehr gut anbieten – hier nicht mehr entfernen ließen. Auch die Karten, auf denen die Behauptung und die Aufgabenstellungen gedruckt sind, sowie der Wortspeicher und hilfreiche Satzanfänge können einlaminiert werden, damit diese bei weiteren Erprobungen und Folgestunden dieser Lernumgebung wiederverwendet und aufbewahrt werden können.

An welcher Stelle wird der Umgang mit Arbeitsmitteln und den enthaltenen Potentialen von den Kindern erlernt?

In unserer Lernumgebung werden keine neuen, dem Kind unbekannten Arbeitsmittel verwendet. So wurde uns von der Lehrperson mitgeteilt, dass beiden Kindern die für die Beweisführung geeigneten Materialien aus dem Unterricht bekannt sind und regelmäßig damit gearbeitet wird. So konnte auf eine Unterrichtseinheit, in welcher der Umgang mit der Stellentafel und der Hundertertafel von dem Kind erlernt wird, verzichtet werden. Bei Durchführung im Klassenverband wäre denkbar, dass vor der geplanten Unterrichtseinheit zur Beweisführung noch eine Unterrichtseinheit vorangestellt wird, in welcher die Potenziale der Arbeitsmittel nochmal wiederholt werden, um diesbezüglichen Unklarheiten präventiv entgegenzuwirken.

Welches konsumtive Material wird benötigt?

Neben den in Punkt 1 genannten investiven Materialien kommen während des Interviews auch konsumtive Materialien zum Einsatz, die während des Arbeitens vom Kind verbraucht werden (Wollring, 2009, S. 19). Dabei handelt es sich um weiße Blätter Papier, die dem Kind angeboten werden.

Wie organisieren Sie das Material?

Leider wurde uns von den Frankfurter Studentinnen kein Bild übermittelt, wie die Materialien letztendlich dargeboten und organisiert wurden, weshalb darüber keine genaueren Angaben gemacht werden können. Von uns angedacht ist jedoch, dass die Schatzkiste gemeinsam von der Interviewerin und dem Kind geöffnet wird und das Kind einen Blick hineinwerfen kann. Die darin befindlichen Dokumente und Materialien nimmt die Interviewerin jedoch erst nach und nach im Verlauf des Interviews heraus. So bietet sie dem Kind zunächst die unvollständige Behauptung dar, die es im Verlauf der Lernumgebung vervollständigen soll. Anschließend erhält es – entsprechend den vier aufeinanderfolgenden Aufgaben – zunächst für die Aufgaben 1-3 zwei Stapel Ziffernkarten sowie ein oder mehrere weiße Blätter Papier zum Notieren der mit den Ziffernkarten gebildeten Aufgaben und Entdeckungen. Zur Beweisführung in Aufgabe 4 gibt die Interviewerin dem Kind schließlich ein laminiertes Hunderterfeld sowie eine laminierte Stellentafel mit Plättchen vor, jedoch mit der Anmerkung, dass es diese Materialien nutzen kann aber nicht muss. Dies hat den Vorteil, dass das Kind zwar eine Auswahl an möglichen Vorgehensweisen hat, auf die es zurückgreifen kann, allerdings wird es in seiner Kreativität durch die Option, andere Möglichkeiten der Beweisführung zu wählen, nicht auf die Stellentafel oder Hundertertafel festgelegt.

In welcher Funktion werden die Arbeitsmittel/ Medien jeweils eingesetzt?

Zunächst erhält das Kind die Behauptung auf einem Blatt Papier, das aufgrund seiner Gestaltung des Hintergrunds und seiner Schriftart den Anschein macht, als sei es tatsächlich – wie in der thematischen Rahmengeschichte erzählt – mehrere Jahrzehnte vergraben gewesen. Auf diese Weise soll die Motivation des Kindes und die Glaubwürdigkeit der thematischen Einbettung der Lernumgebung aufrechterhalten werden.

Anschließend werden dem Kind nacheinander 4 Aufgabenkarten – im gleichen Stil wie das Blatt Papier der Behauptung – vorgelegt. Für die Darbietung in Form von einzelnen Aufgabenkarten anstelle eines Arbeitsblatts – auf dem die Aufgaben gesammelt nacheinander aufgelistet sind – haben wir uns bewusst entschieden, um zu vermeiden, dass sich das Kind von der scheinbaren Fülle der Aufgaben überfordert fühlt und darauf mit einer Abwehrhaltung bzw. Distanzierung gegenüber den Aufgaben reagiert.

Die beiden Stapel Ziffernkarten mit jeweils den Ziffern von 1-9 haben die Funktion, dass das Kind selbstständig sowie aktiv handelnd Subtraktionsaufgaben legen kann. Somit stellen sie in der Lernumgebung ein probates Mittel zum Rechnen (Krauthausen, 2018, S. 328f.) dar, indem sich die schriftliche Subtraktion zweier Spiegelzahlen daran veranschaulichen lässt. Ebenso fungieren sie als Argumentationsmittel (Krauthausen, 2018, S. 329ff.), weil im Rahmen der Aufgaben 1-3 mit den Ziffernkarten gehandelt und operiert wird und daran die Regelhaftigkeit bzw. das Muster bei der Subtraktion zweistelliger Spiegelzahlen erkannt und aufgezeigt werden kann. Im Anschluss können die Aufgaben auf dem Blanko-Papier, das ab Aufgabenkarte 2 zum Einsatz kommt, verschriftlicht werden. Diese Blanko-Papierblätter können gerade während der Beweisführung, auf welche die Aufgabenkarte 4 explizit hinleitet, auch von dem Kind genutzt werden, z.B. wenn es zur Beweisführung das halbschriftliche Rechenverfahren oder den Rechenstrich nutzt. Vor diesem Hintergrund können das halbschriftliche Rechenverfahren sowie der Rechenstrich die Funktion eines Argumentations- und Beweismittels (Krauthausen, 2018, S. 329ff.) einnehmen, indem das Kind die Regelhaftigkeit anhand einer oder mehrerer Beispielaufgaben (exemplarisch) auf diese Weise beweisen kann, bevor es davon ausgehend eine allgemeingültige Begründung ableiten kann.

Auch die Stellentafel und die Hundertertafel können zur Beweisführung zum Einsatz kommen, um im Sinne einer bei-spielgebundenen Beweisstrategie an einer exemplarischen Subtraktionsaufgabe zu zeigen, dass die Behauptung „Subtrahiere ich von einer zweistelligen Zahl mit unterschiedlichen Ziffern ihre Spiegelzahl, dann ist das Ergebnis ein Vielfaches von 9. Welches Vielfache von 9 herauskommt, erkennt man am Unterschied zwischen Zehner- und Einerziffer“ gilt. Beim Legen der Spiegelzahlen in der Stellentafel mit Plättchen zeigt sich deutlich die Funktion als Mittel zur Zahldarstellung (Krauthausen, 2018, S. 327f.), da auch die übersichtliche Darstellung großer Zahlen möglich ist und sich die Bedeutung des Stellenwertprinzips erkennen lässt. Das Verschieben von Plättchen in den beiden Spalten und das gedankliche Hinzulegen und Wegnehmen – hier zeigt sich die Funktion als Mittel zum Rechnen – stellt eine wichtige Aktivität dar, die essenziell für die Beweisführung ist, bei der die Stellentafel und die Plättchen wiederum als Argumentations- und Beweismittel (Krauthausen, 2018, S. 329ff.) zum Einsatz kommen. So kann das Kind beweisen, dass das Verschieben eines Plättchens eine Veränderung um +/- 9 bewirkt und dass der Ziffernunterschied der Ausgangszahl jeweils angibt, wie viele Plättchen man verschieben muss, um zur Spiegelzahl zu gelangen. Bei der exemplarischen Aufgabe 63 - 36 wären dies 3 Plättchen, also 3 • 9 = 18.

Auch die Hundertertafel erfüllt die Funktion eines Mittels zur Zahldarstellung (Krauthausen, 2018, S. 327f.), da das Identifizieren einer zweistelligen Zahl und ihrer Spiegelzahl die Orientierung des Kindes im Zahlenraum schult. Werden beide Zahlen markiert, kann die Lage beider Zahlen auf einer Diagonalen ersichtlich werden. Ausgehend von der Lage der beiden Zahlen in der Hundertertafel kann der Beweis getätigt werden – die Hundertertafel fungiert somit als Argumentations- und Beweismittel –, indem sich in ihr von einer Zahl aus um eine Anzahl an Feldern in alle Richtungen bewegt wird, wobei durch die Verknüpfung der damit verbundenen Rechenoperationen (+/-1; +/-10) das Muster hinter den Spiegelzahlen aufgezeigt werden kann (Krauthausen, 2018, S. 329ff.).

Die sogenannten „Werkzeuge zur Bewusstmachung“ haben die Funktion der qualitativen Differenzierung. Mithilfe des Wortspeichers können gegebenenfalls die zentralen Begriffe „Spiegelzahl“, „Ziffer“ und „Vielfaches“ nochmals verständlich erklärt werden. Die Satzanfänge haben die Funktion, das Kind beim Verbalisieren seiner Entdeckungen zu unterstützen.

Welche fachdidaktischen Potenziale bringen die Arbeitsmittel/ Medien mit?

Im Folgenden sollen diejenigen Materialien beschrieben werden, die für die Herleitung des Beweises und die letztendliche Beweisführung essenziell sind.

Ziffernkarten:

Werden die Ziffernkarten dazu genutzt, durch neue Kombinationen verschiedene Rechnungen aus gleichen Ziffern zu bilden, verdeutlichen sie „die Benutzung derselben Ziffern sowohl im Subtrahenden als auch im Minuenden“ (Heckmann & Padberg, 2014, S. 160) und das Kind kann Einsichten in die Struktur des dekadischen Zahlsystems erhalten. Werden mit den Ziffernkarten 3 und 6 zwei Zahlen gebildet, hat die Ziffer 3 in 63 einen anderen Wert (hier: 3 Einer) als in der Zahl 36 (hier: 3 Zehner). Gleiches gilt für die Ziffer 6. „Auf diese Weise werden die Schüler angehalten, genau auf die Stellenwerte zu achten und Ergebnisse ihrer schriftlichen Rechnungen in Abhängigkeit von den gewählten Zahlen zu sehen, sowie eine Verbindung von Rechnen und Denken herzustellen“ (Wittmann & Müller 1992, S. 36, zit. nach PIKAS, 2013, S. 1).

Stellentafel:

Stellentafeln verkörpern insbesondere das Stellenwertsystem und diesbezüglich vor allem das Stellenwertprinzip: Es handelt sich um eine Tabelle, in welcher jede Spalte einen Stellenwert und jede Zeile die Anzahl der jeweiligen Bündelungseinheiten markiert. Großes Potenzial weisen Stellentafeln insbesondere dahingehend auf, dass sich große Zahlen anschaulich darstellen lassen und sich daran Rechenverfahren mit Basis auf einem stellenwertgemäßen Rechnen verdeutlichen lassen (Käpnick, 2014, S. 163f.). Um ihr didaktisches Potenzial ideal ausschöpfen zu können, ist es jedoch notwendig, dass den Lernenden ausreichend Zeit zum Kennenlernen der recht abstrakten Darstellungsform eingeräumt wird. Ein Vorzug von Stellentafeln liegt in jedem Falle in der einprägsamen Verdeutlichung des dezimalen Stellenwertsystems – voraussetzend für die Nutzung der Stellentafel ist allerdings, dass die Lernenden über ein grundlegendes Verständnis des Stellenwert- und Bündelungsprinzips verfügen. Laut Freesemann (2014, S. 189) wird in einer Stellentafel „die Anzahl der jeweiligen Stellenwerte nicht mehr durch die Bündel selbst, sondern nur noch durch die Anzahl von Plättchen im jeweiligen Stellenwert gekennzeichnet […]“. Bei einer solchen Darstellung von Zahlen durch Plättchen – wie sie auch in der Lernumgebung Verwendung finden – erhalten die Plättchen ihren Wert nur durch die Position in der Stellentafel. Das bedeutet, dass das Verschieben eines Plättchens von einer Spalte zu einer anderen Spalte eine Änderung des Zahlenwertes zur Folge hat. Wird beispielsweise in der Lernumgebung ein Plättchen aus der Zehnerspalte in die Einerspalte oder umgekehrt verschoben, so ändert sich der Zahlenwert um 9. Darüber hinaus können auch Umbündelungsprozesse an jedem Stellenwert einer Zahl anhand der Stellentafel deutlich gemacht werden. Nicht zu vernachlässigen ist zuletzt, dass sich die Stellentafel beliebig durch Spalten bzw. weitere Stellenwerte erweitern lässt, die Grundstruktur jedoch beibehalten wird. (Käpnick, 2014, S. 163f.)

Hundertertafel:

Wie es die Bezeichnung bereits aussagt, sind auf einer Hundertertafel die Zahlen von 1 bis 100 eingetragen. Es handelt sich um eine strukturierte Darstellung, die neben der Zehnerbündelung unseres Zahlsystems durch zwei stärkere Trennlinien, die die Tafel in vier Quadranten unterteilen, auch die Fünferbündelung verdeutlicht. Die Hundertertafel kann als eine „Erweiterung“ des Zwanzigerfelds betrachtet werden, da sie die daraus bekannten Grundstrukturen beibehält und zahlenraummäßig erweitert. Strukturell ist die Hundertertafel so aufgebaut, dass untereinanderliegende Zahlen die gleiche Einerziffer und die waagerechten die gleiche Zehnerziffer haben. Bewegt man sich in der Hundertertafel von einer Zahl aus ein Feld nach links oder rechts, ändert sich ihr Wert entweder um -1 oder +1. Bewegt man sich ein Feld nach unten oder oben, verändert sich der Wert der Zahl um -10 oder +10. Didaktisch kann diese Tafel sehr vielfältig genutzt werden, da sie dem Kind die Möglichkeit bietet, Zahlen und Zahlbeziehungen zu entdecken und zu erarbeiten. Darüber hinaus eignet sie sich gerade im Hinblick auf die Subtraktion (und Addition) dazu, Rechenbeziehungen flexibel darzustellen (Käpnick, 2014, S. 169ff.).

Die Hundertertafel eignet sich insofern für die geplante Lernumgebung, dass sich durch die Fokussierung auf die Subtraktion mit zweistelligen Spiegelzahlen nicht aus dem Zahlenraum bis 100 hinausbewegt wird. Aus diesem Grund können alle gebildeten Zahlen problemlos in der Tafel markiert und Zusammenhänge zwischen diesen beiden Zahlen erkannt werden.

Um das fachdidaktische Potenzial der Arbeitsmittel beurteilen zu können, ist es weiterhin wichtig, sie hinsichtlich der Gütekriterien nach Krauthausen (2018, S. 334f.) zu untersuchen:

Die Ziffernkarten allein sagen noch nichts darüber aus, welche Rechenoperation ausgeführt wird. Dennoch wird die Grundidee der schriftlichen Subtraktion zweier zweistelliger Spiegelzahlen durch das Operieren mit Ziffernkarten angemessen verkörpert, wenn die größere der beiden Spiegelzahlen auf dem Tisch über die kleinere Spiegelzahl gelegt wird. Ein zusätzliches Rechenzeichen, in diesem Fall ein Minus, ist dabei nicht notwendig, da aus der Aufgabenstellung her-vorgeht, dass eine Subtraktion durchgeführt werden soll. Die Subtraktion der beiden Spiegelzahlen bzw. die Regelhaftigkeit ihrer jeweiligen Differenzen lässt sich ebenso an der Hundertertafel sowie der Stellentafel aufzeigen und daran exemplarisch beweisen (vgl. Aufgabe 4).

Darüber hinaus handelt es sich sowohl bei den Ziffernkarten als auch bei der Stellentafel um strukturierte Arbeitsmittel bzw. Veranschaulichungen, sodass die strukturierte Erfassung von größeren Anzahlen unterstützt wird. Da sich die Lernumgebung auf den Zahlenraum bis 100 beschränkt, ist auch die Hundertertafel zur Unterstützung der strukturierten Erfassung der Zahlen in dieser Lernumgebung geeignet. Weiterhin wird die Ausbildung heuristischer Strategien, wie etwa das systematische Ausprobieren, unterstützt, indem die Kinder bewusst versuchen könnten, die Ziffern der Spiegelzahlen so zu wählen, dass sie bei Subtraktion der Spiegelzahlen jeweils zu demselben Ergebnis (z.B. 18) gelangen. Durch die Gliederung der Lernumgebung in vier nacheinander zu bearbeitende Aufgaben wird das Kind in seiner Aufgabenlösung zwar angeleitet, jedoch erhält es genügend Raum für eigene Ideen bzw. Bearbeitungs- und Lösungswege. So wird ihm die Wahl der Ziffern für die Spiegelzahlen freigelassen, durch die Bereitstellung eines Blanko-Papiers wird es nicht in seiner individuellen Notationsform eingeschränkt und auch die Wahl des Arbeitsmittels bzw. der Veranschaulichung für die Beweisführung in Aufgabe 4 ist dem Kind freigestellt. Da an den Materialien nachvollziehbare und wiederholbare Handlungen ausgeführt werden können, eignen sie sich für einen kommunikativen und argumentativen Austausch über Vorgehensweisen. Findet die Bearbeitung der Lernumgebung zwar in Form eines Einzelinterviews statt, wird das Kind dennoch von der Interviewerin durch gezielte Impulse und Fragen dazu angeregt, seine Denkweisen zu verbalisieren und am Material zu erklären. Aufgrund ihrer Strukturiertheit ist ihre Fortsetzbarkeit zur Erweiterung des Zahlenraums leicht umsetzbar. Mit den Ziffernkarten können Zahlen mit beliebig vielen Stellen gelegt werden, die Stellentafel lässt sich um weitere Spalten ergänzen oder die Hundertertafel lässt sich über die Zahl 100 hinaus fortführen.

Bei den verwendeten Materialien handelt es sich um unveränderte, im Unterricht geläufige Materialien, die zur Grundausstattung der Schule gehören. Somit sind sie nicht nur speziell auf diese Lernumgebung zugeschnitten, sondern können in vielfältigen Inhaltsbereichen Verwendung finden. Aus diesem Grund besitzen sie, wenn sie einlaminiert wurden oder in anderer Materialform vorhanden sind, eine angemessene Haltbarkeit, die den schulischen Alltagsbedingungen standhält. Auch wenn diese Materialien eine einfache Gestaltung aufweisen, ist durch ihre Strukturiertheit dennoch eine ästhetische Qualität gegeben, die den Kindern ein Arbeiten ohne eine Ablenkung durch überflüssige ästhetische Gestaltungen ermöglicht. Alle in dieser Lernumgebung verwendeten Materialien sind aufgrund ihrer Größe und Einfachheit alltagstauglich und schnell in den Unterricht integrierbar. Sie können auch von den Schüler*innen selbst ohne großen Zeitaufwand bereitgelegt sowie verstaut werden.

Ein Einsatz im Rahmen unterschiedlicher Arbeits- und Sozialformen ist zwar denkbar, allerdings müssten für diesen Fall – da die Lernumgebung auf ein Einzelinterview ausgelegt ist – teilweise Änderungen vorgenommen werden (vgl. Welche Sozialformen werden verwendet?).

Stimmt das „Preis-Leistungs-Verhältnis“ der Lernumgebung?

Nach eingehender Betrachtung der verwendeten Materialien lässt sich festhalten, dass deren Beschaffung oder Anfertigung für den Einsatz in der Lernumgebung geringe bis gar keine Kosten sowie keinen unausgewogenen und ungerechtfertigten zusätzlichen Zeitaufwand verursacht, womit sie ein ausgewogenes Preis-Leistungs-Verhältnis aufweisen. In den meisten Fällen sind alle Materialien in dieser Form bereits in der Schule, in der die Erprobung durchgeführt werden soll, vorhanden und können ausgeliehen werden. Sollten diese Materialien jedoch nicht in den Materialbeständen der Schule zu finden sein, können diese – bis auf die Mehrsystemblöcke – unter geringen Kosten auch selbst erstellt werden. Die Ziffernkarten, Hunderter- oder Stellentafel können auf einfache DIN A4-Blätter gedruckt, ausgeschnitten und nach Möglichkeit laminiert werden, damit sie auch später investiv genutzt werden können. Mehrsystemblöcke sind oftmals für eine Eigenanschaffung zu teuer, können aber auch – falls an einer Universität solche Angebote bestehen – in universitätsinternen Didaktik-Laboren der Mathematik entliehen werden.

Wieviel Zuwendung der Lehrperson ist notwendig?

Da unsere Lernumgebung für die Durchführung als Interview mit einem einzelnen Kind geplant wurde, ist die Zuwendung der Lehrperson bzw. in diesem Falle der Interviewerin notwendig, wenn das Kind bei einer der ihm mittels Karten in schriftlicher Form dargebotenen zur Beweisführung hinleitenden Aufgaben selbst nicht mehr weiterkommt. In diesem Fall ist es die Aufgabe der Interviewerin, sich flexibel und individuell mit mündlichen Impulsen dem Kind unterstützend zuzuwenden bzw. ihm die im Vorhinein erstellten qualitativen Differenzierungsmaßnahmen – einen Wortspeicher oder Satzanfänge – vorzulegen. Bei einer möglichen Durchführung in einem ganzen Klassenverband ist diese flexible und auf das einzelne Kind individuell anpassbare Zuwendung durch die Lehrperson natürlich nicht möglich. So kann die fehlende Zuwendung der Lehrperson durch sachbezogene und erfolgreiche Kooperation der Kinder in ihren leistungsheterogenen Gruppen ausgeglichen werden und Fragen, die in der Gruppe nach gemeinsamer Anstrengung nicht gelöst werden können, von der Lehrperson beantwortet werden.

Evaluation

Ermöglicht die Lernumgebung das Erzeugen von Strategiedokumenten?

Dadurch, dass dem Kind weiße Blätter zur Verfügung gestellt werden, erfährt es eine große Freiheit darin, wie es Lösungen dokumentieren möchte. Es kann Rechnungen verschriftlichen, Erkenntnisse ausformulieren oder Skizzen anfertigen. Auch Handlungen, die am zur Beweisführung eingesetzten Material eingesetzt werden, könnten in Skizzen festgehalten werden, indem beispielsweise ausgewählte Kästchen der Hundertertafel oder die Spalten der Stellentafel aufgezeichnet werden.

Können Förderimpulse identifiziert werden?

Förderimpulse können anhand der Beobachtung der Vorgehensweisen während des Interviews als auch nach der Durchführung nochmals genau anhand des im Interview verfassten Protokolls abgeleitet werden. Mögliche Vorgehensweisen wurden bereits aufgelistet (vgl. Didaktische Analyse).

Kann identifiziert werden, was an einer Schülerlösung anerkennenswert ist?

Im Rahmen des Einzelinterviews steht nicht nur die vermeintlich korrekte oder falsche Lösung des Kindes im Vordergrund, sondern auch der Weg zu dieser Lösung. Da das Kind dazu angeregt wird, die vier Aufgaben eigenständig zu bearbeiten und seine Denk- und Vorgehensweisen zu beschreiben, eröffnen sich viele Anhaltspunkte, um anerkennenswerte Herangehensweisen zu identifizieren. Anerkennende Leistungen des interviewten Kindes können sich von der korrekten Bildung der Spiegelzahl, über die richtige Lösung einer Subtraktionsaufgabe bis hin zur verständlichen Verbalisierung seiner Gedanken, dem Finden eines Ansatzes zur Beweisführung anhand einer exemplarischen Aufgabe und der Verallgemeinerung des Musters bzw. der Regelhaftigkeit auf alle zweistelligen Spiegelzahlen erstrecken.

Kann identifiziert werden, welche Leistungen zum sozialen Lernen beitragen?

Die Lernumgebung basiert auf der Thematik, dass ein Forscher auf die Hilfe des Kindes angewiesen ist. Durch die Anstrengungen, die das Kind aufbringt, kann es einer, wenn auch fiktiven, Figur seine Unterstützung zeigen. Die Lernumgebung bietet ein soziales Lernen, wenn sie in einem Klassenverbund erprobt wird, in dem die Schüler*innen die Möglichkeit zur Kommunikation und Kooperation erhalten. Die Lernenden können sich über gefundene Subtraktionsergebnisse austauschen, mehrere Kinder können gemeinsam versuchen, möglichst viele Subtraktionsaufgaben zu bilden, Ideen und Vermutungen können zu jedem Zeitpunkt ausgetauscht und verglichen werden oder die Kinder können gegenseitig ihre Vorgehensweisen an den Materialien zur Beweisführung nachvollziehen.

Vernetzung mit anderen Lernumgebungen

Bietet die Lernumgebung Beziehungen zu anderen Strategien im selben mathematischen Problemfeld?

Weiterführende Aufgabenstellungen:

- Veränderung der Stellenzahl: Subtraktion mit dreistelligen Spiegelzahlen (→ bei einer dreistelligen Spiegelzahl werden Hunderter und Einer der Ausgangszahl vertauscht; Das Ergebnis der Subtraktion ist immer ein Vielfaches von 99; Das Vielfache von 99 ist abhängig von der Differenz der Stellenwerte an der Einer- und Hunderterstelle)

- „Immer 99“: Die Ergebniszahl aus der Subtraktion der beiden zweistelligen Zahlen wird mit ihrer Spiegelzahl addiert; das Ergebnis dieser Addition ist immer 99 (z.B. 27 + 72 = 99)

- Veränderung der Rechenvorschrift: Addition von zweistelligen Spiegelzahlen (→ die Ergebnisse sind immer Vielfache von 11; Das Vielfache von 11 ist abhängig von der Summe der Stellenwerte)

- Veränderung des Zahlenmusters: Es werden zwei unterschiedliche Ziffern zur Bildung einer dreistelligen Zahl genutzt: IRI-Zahlen/AHA-Zahlen (→ Die Differenz zwischen einer IRI-Zahl und ihrer Spiegelzahl ist ein Vielfaches von 91. Welches Vielfache von 91 die Ergebniszahl ist, hängt von der Differenz der Stellenwerte ab)

- Erweiterung des Aufgabenformats: Minustürme (→ Das Kind bildet aus drei verschiedenen Ziffern, von denen keine Null ist, die größte und die kleinste Zahl. Für die Differenz gilt dann immer: 1. Die Zehnerziffer ist stets eine 9 und 2. Die Summe aus Einer- und Hunderterziffer ist stets 9.)

Gibt es Beziehungen zu anderen Bereichen im Mathematikunterricht?

Es kann eine kritische Betrachtung der Bedeutung des Begriffs „Spiegeln“ mit Blick auf die „Spiegelzahlen“ in dieser Lernumgebung und die „Achsenspiegelung“ oder „Punktspiegelung“ in der Geometrie erfolgen. → Beziehung zwischen dem in dieser Lernumgebung vorherrschenden Bereich der Arithmetik mit dem Bereich der Geometrie

Gibt es Beziehungen zu anderen Fächern?

Bezug zum Deutschunterricht: In der Lernumgebung führt die besondere Anordnung von Ziffern zu einem Phänomen, dies gilt auch für den Deutschunterricht, in dem durch die spezielle Anordnung/Kombination von Buchstaben ein Phänomen erzeugt wird (z.B. „Palindrome“, die sich vorwärts und rückwärts lesen lassen. → OTTO, ANNA (Bezug zu ANNA-Zahlen)

Reflexion der Lernumgebung

Welche Aspekte der Durchführung können problematisch werden (Stolpersteine)?

- Schlüsselbegriffe aus der Behauptung sind dem Kind unbekannt (z.B. „Vielfaches“, „Ziffer“, „Spiegelzahl“) (PIKAS, 2009). Um zu überprüfen, ob dieses Hindernis bei dem Kind gegeben ist, wurde Aufgabe 1: „Erkläre folgende Begriffe: ‚Spiegelzahl‘, ‚Ziffer‘, ‚Vielfaches‘.“ in die Lernumgebung integriert. Sollte das Kind die Begriffe nicht erklären können, legt die Interviewerin dem Kind einen im Vorhinein angefertigten Wortspeicher zur Klärung der Begriffe vor.

- Ein Hindernis, welches bereits am Anfang der Lernumgebung auftreten kann, sind Probleme beim Subtrahieren (Heckmann & Padberg, 2014, S. 163). Darunter zählt unter anderem, dass das Kind das schriftliche Rechenverfahren der Subtraktion noch nicht ausreichend automatisiert hat und demnach viel Zeit für das Rechnen benötigt, sodass für die eigentliche Beweisführung im weiteren Verlauf der Lernumgebung nicht mehr viel Zeit übrigbleibt, sodass es gegebenenfalls nicht mehr innerhalb der vorgesehenen 45 Minuten zu einem Beweis kommt.

- Zudem können Schwierigkeiten beim Subtrahieren mit Zehnerunterschreitung auftreten, die sich bei der Subtraktion mit Spiegelzahlen zwangsläufig ergibt, z.B. 63 - 36 (Jacobs & Petermann, 2007, S. 87). Ist dieses Problem bei einem Kind bereits im Vorhinein bekannt, so sollte diese Lernumgebung besser zu einem späteren Zeitpunkt mit diesem Kind durchgeführt werden (vgl. Wann sollte die Lernumgebung nicht angewendet werden?).

- Auch Zahlendreher bzw. Unklarheiten über die Bezeichnungen und Wertigkeiten der Zehner- und Einerziffern können sich als Hindernis ergeben. Insbesondere dann, wenn das Kind am Ende mithilfe des zur Verfügung gestellten Materials beweisen soll, kann es für das Kind schnell zu einer Erschwernis werden, wenn es ein mangelndes Stellenwertverständnis besitzt, das für eine fundierte Erklärung dieses Beweises jedoch nötig ist. Als Hilfe ist der Einsatz von Mehrsystemblöcken denkbar, die dem Kind das Prinzip der Zehnerbündelung erneut verdeutlichen können (PIKAS, 2009).

- Ein weiterer typischer Fehler ist die Subtraktion der größeren von der kleineren Zahl, z.B. 36 - 63 (PIKAS, 2009). Diesem Fehler wird in der Lernumgebung entgegengewirkt, indem es in der Aufgabenstellung von Aufgabe 2 heißt: „Bilde die Spiegelzahl und ziehe die kleinere von der größeren Zahl ab.“.

Wann sollte die Lernumgebung nicht angewendet werden?

Die Lernumgebung sollte nicht angewendet werden, wenn bekannt ist, dass beim Kind bereits grundlegende Defizite im Bereich der schriftlichen Subtraktion mit Zehnerübergang bestehen. Generell werden grundlegende mathematische Kenntnisse vorausgesetzt, welche für die erfolgreiche Bearbeitung der Lernumgebung essenziell sind (vgl. Mathematische Analyse). Vor Durchführung der Lernumgebung sollte daher unbedingt von den beiden Studierenden der Goethe-Universität mit der Mathematiklehrkraft der Klasse abgeklärt werden, ob das Kind über diese benötigten mathematischen Kenntnisse verfügt, damit sich bei der Erprobung auf ihren Kern, die Beweisführung, konzentriert werden kann. Generell sollte das Kind – auch wenn es von seinem Leistungsniveau her dazu in der Lage wäre – die Lernumgebung nicht bearbeiten müssen, wenn es zum Zeitpunkt des Interviews einen aufgewühlten oder unkonzentrierten Eindruck macht, was möglicherweise auf private oder schulische Vorkommnisse in vorangegangenen Schulstunden oder Pausen zurückzuführen ist.

Nach der Durchführung

Daten zur Durchführung

Die Lernumgebung wurde von den zwei Studentinnen der Goethe-Universität am 02.07.2021 mit zwei Kindern erprobt. Beide Kinder wurden einzeln interviewt.

Schülerdokumente

Dokumente, die von den beiden interviewten Kindern im Verlauf der Erprobung produziert wurden, sind uns nicht vorhanden.

Reflexion

Beide Kinder kamen in der angesetzten Zeit von 45 Minuten zu einer Beweisführung. Die Hundertertafel wurde von beiden Kindern als Material zur Beweisführung ausgewählt, da diese ihnen aus ihrem bisherigen Unterricht am vertrau-testen war. Dabei gingen beide Kinder überraschenderweise unterschiedlich vor (vgl. Analyse der Aufgabenstellungen und Arbeitsaufträge nach den Kriterien „guter“ Aufgaben zum Lernen). Der Grad der Anleitung und damit verbunden die Impulse, die die Studentinnen genutzt haben, ist uns jedoch leider nicht bekannt. Auch liegen uns keine Informationen darüber vor, ob während des Interviews von den Planungen der Lernumgebung abgewichen wurde oder ob die Aufgaben inklusive der vorgesehenen Bereitstellung der Arbeitsmittel wie vorgesehen umgesetzt wurden.

Literatur

Freesemann, O. (2014). Schwache Rechnerinnen und Rechner fördern. Eine Interventionsstudie an Haupt-, Gesamt- und Förderschulen. Wiesbaden: Springer Spektrum.

Hartinger, A., & Fölling-Albers, M. (2002). Schüler motivieren und interessieren. Ergebnisse aus der Forschung. Anregungen für die Praxis. Bad Heilbrunn: Julius Klinkhardt Verlag.

Heckmann, K., & Padberg, F. (2014). Unterrichtsentwürfe Mathematik Primarstufe, Band 2. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag.

Jacobs, C., & Petermann, F. (2007). Rechenstörungen. Göttingen: Hogrefe.

Käpnick, F. (2014). Mathematiklernen in der Grundschule. Berlin Heidelberg: Springer Spektrum.

Klafki, W. (1962). Die didaktische Analyse als Kern der Unterrichtsvorbereitung. In H. Roth & A. Blumenthal (Hrsg.), Auswahl. Grundlegende Aufsätze aus der Zeitschrift Die Deutsche Schule 1 (S. 5-35). Hannover: Schroedel Verlag.

Krauthausen, G., & Scherer, P. (2010): Umgang mit Heterogenität. Natürliche Differenzierung im Mathematikunterricht der Grundschule. Handreichungen des Programms SINUS an Grundschulen. Kiel: IPN.

Krauthausen, G. (2018). Einführung in die Mathematikdidaktik – Grundschule. Berlin: Springer Spektrum.

Krauthausen, G., & Scherer, P. (2019). Natürliche Differenzierung im Mathematikunterricht. Konzepte und Praxisbeispiele aus der Grundschule. Seelze: Kallmeyer.

Krumsdorf, J. (2015). Beispielgebundenes Beweisen. (Dissertationsschrift, Univ. Münster).

Padberg, F., & Büchter, A. (2015). Einführung Mathematik Primarstufe – Arithmetik. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag.

PIKAS (2009). Umkehrzahlen. Abgerufen am 15.06.2021, verfügbar unter https://pikas.dzlm.de/pikasfiles/uploads/upload/Material/gesamtes_Material/paketpiko_h7_umkehrzahlen.pdf.

PIKAS (2013). Sachinformationen Haus 8: Guter Mathematikunterricht. Produktives Üben der schriftlichen Addition mit Ziffernkarten. Abgerufen am 11.07.2021, verfügbar unter https://pikas.dzlm.de/pikasfiles/uploads/upload/Material/Haus_8_-_Guter_Unterricht/UM/Merkmale_schriftl_Add_Ziffernkarten/Sachinformation_Produktives_Ueben_mit_Ziffernkarten.pdf.

Platz, M. (2020): Ein Schema zur kriteriengeleiteten Erstellung und Dokumentation von Lernumgebungen mit Einsatz digitaler Medien. In: F. Dilling & F. Pielsticker (Hrsg.), Mathematische Lehr-Lernprozesse im Kontext. MINTUS – Beiträge zur mathematisch-naturwissenschaftlichen Bildung. Wiesbaden: Springer.

Saarland-Ministerium für Bildung, Familie, Frauen und Kultur (2009). Kernlehrplan Mathematik Grundschule. Abgerufen am 15.06.2021, verfügbar unter https://www.saarland.de/SharedDocs/Downloads/DE/mbk/Lehrplaene/Lehrplaene_Grundschule/GS_Kernlehrplan_Mathematik.pdf?__blob=publicationFile&v=1.

Selter, C., & Spiegel, H. (1997): Wie Kinder rechnen. Leipzig: Klett.

Wittmann, E. (2014). Operative Beweise in der Schule und Elementarmathematik. Mathematica didactica, 37/2014, S. 213-232.

Wollring, B. (2009). Zur Kennzeichnung von Lernumgebungen für den Mathematikunterricht in der Grundschule. In Kasseler Forschergruppe (Hrsg.), Lernumgebungen auf dem Prüfstand. Zwischenergebnisse aus den Forschungsprojekten (S. 9-26). Kassel: kassel university press.

OpenSource4School/Lernumgebungen zum Beweisen in der Primarstufe/Ziffernkaertchen

Formale Aspekte

Namen der Verfasser der Lernumgebungsdokumentation

E-Mail-Adressen und Datum

Inhaltsaspekte

Name der Lernumgebung

Kurzbeschreibung der Lernumgebung

Welche didaktische Motivation liegt der Lernumgebung zu Grunde?

Welches Ziel verfolgt die Lernumgebung? (Welche Lehrziele verfolgt die Lernumgebung?)

Was sind markante Eckpunkte der Lernumgebung?

Welche Arbeitsmittel/ Medien werden in der Lernumgebung eingesetzt?

Ungefährer Zeitbedarf zur Durchführung

Adressaten der Lernumgebung

Zentrale Aufgabenstellungen und Arbeitsaufträge in der Lernumgebung

Einstieg

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Technische Voraussetzungen

Mathematischer Gehalt der Lernumgebung

Mathematische Analyse

Mathematikdidaktischer Gehalt der Lernumgebung

Didaktische Analyse

„Gute“ Aufgaben & Differenzierung

Analyse der Aufgabenstellungen und Arbeitsaufträge nach den Kriterien „guter“ Aufgaben zum Lernen

Welche Art der Differenzierung wird in der Lernumgebung umgesetzt?

Artikulation, Kommunikation, Soziale Organisation

Inwiefern werden die Artikulationsoptionen Handeln, Sprechen und Schreiben ausgenutzt?

Wird Raum zum Gestalten und Raum zum Behalten gelassen?

Welche Sozialformen werden verwendet?

Wie wird die Schlusssequenz im Sinne einer gemeinsamen Reflexion mit den Schülerinnen und Schülern gestaltet?

Welche Impulse/Fragen begleiten die einzelnen Phasen des Interagierens mit der Lernumgebung?

Potenzial des Einsatzes (digitaler) Medien

Welches investive Material wird benötigt?

An welcher Stelle wird der Umgang mit Arbeitsmitteln und den enthaltenen Potentialen von den Kindern erlernt?

Welches konsumtive Material wird benötigt?

Wie organisieren Sie das Material?

In welcher Funktion werden die Arbeitsmittel/ Medien jeweils eingesetzt?

Welche fachdidaktischen Potenziale bringen die Arbeitsmittel/ Medien mit?

Stimmt das „Preis-Leistungs-Verhältnis“ der Lernumgebung?

Wieviel Zuwendung der Lehrperson ist notwendig?

Evaluation

Ermöglicht die Lernumgebung das Erzeugen von Strategiedokumenten?

Können Förderimpulse identifiziert werden?

Kann identifiziert werden, was an einer Schülerlösung anerkennenswert ist?

Kann identifiziert werden, welche Leistungen zum sozialen Lernen beitragen?

Vernetzung mit anderen Lernumgebungen

Bietet die Lernumgebung Beziehungen zu anderen Strategien im selben mathematischen Problemfeld?

Gibt es Beziehungen zu anderen Bereichen im Mathematikunterricht?

Gibt es Beziehungen zu anderen Fächern?

Reflexion der Lernumgebung

Welche Aspekte der Durchführung können problematisch werden (Stolpersteine)?

Wann sollte die Lernumgebung nicht angewendet werden?

Nach der Durchführung

Daten zur Durchführung

Schülerdokumente

Reflexion

Literatur