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Das Penrose-Puzzle

Lösung des Penrose-Puzzles Mathematikum

Kurzbeschreibung des Exponates

Wie kann das geplante Exponat kurz beschrieben werden?

Man soll mithilfe von Drachen- und Pfeilenteilchen ein Puzzle flächendeckend und lückenlos puzzlen. Das Penrose-Puzzle ist ein kleiner Ausschnitt aus dem unendlichen Penrose Parkett.
Ein großer Teil der Lösung ist in der rechten oberen Ecke des Exponats "Wer findet den Fisch?" zu finden (dort sind allerdings Drachen und Pfeile nicht farblich voneinander getrennt).

Welche Teilnehmer sollen angesprochen werden?

Gibt es einen speziellen Adressatenkreis des Exponates?

Adressatenkreis des Exponates sind im Besonderen Kinder, die spielerisch faszinierende Symmetrien und das Fehlen von globalen Symmetrien bewundern.

Mathematischer Gehalt

Wie kann der mathematische Gehalt des geplanten Exponates beschrieben werden?

Drache (rot) und Pfeil (grün) bilden Raute

Der mathematische Gehalt des Penrose Puzzles ist im weitesten Sinn der goldene Schnitt. Es wird gezeigt, wie man mithilfe von zwei bestimmten Bausteinen eine Fläche lückenlos und überlappungsfrei parkettieren kann. Dabei können neben den Begriffen Figur und Parkett auch viele andere geometrische Begriffe mathematisch diskutiert werden. Solche Begriffe sind: Symmetrie, Unendlichkeit, mathematische Ästhetik ... und viele andere.

Im Penrose Parkett kann man immer wieder „Räder“ und „Sterne“ finden, die aus jeweils 5 Teilen bestehen. Diese lokalen 5-er Symmetrien charakerisieren das Penrose-Parkett. Penrose-Parkette sind ästhetisch besonders attraktiv, und zwar aufgrund ihrer Spannung zwischen den lokalen hochsymmetrischen Figuren (wie etwa der Blume) und der globalen Aperiodizität. Für die Ästhetik spielt auch der goldene Schnitt eine Rolle: Das Verhältnis von Drachen zu Pfeilen entspricht im Penrose-Parkett exakt dem goldenen Schnitt. Ein Penrose-Parkett kann man auch in einem Quasikristall finden, wenn man ihn entlang einer bestimmten Linie aufschneidet.

Das Penrose-Parkett ist ein aperiodisches Parkett, wobei es zwei verschiedene Kacheln gibt: den Drachen (rot) und den Pfeil (grün). Diese sind eng mit einem regulären Fünfeck verwandt, in welchem ein Drache zusammen mit einem Pfeil eine Raute bildet. Die Winkel des Drachens sind 144 Grad und 72 Grad, und die Winkel des Pfeiles sind 216 Grad, 72 Grad und 36 Grad (also findet man für die Raute die Winkel 72 Grad und 108 Grad, und 72 Grad ist auch der Winkel eines regulären Fünfecks).
Da man mit Rauten ein periodisches Muster legen kann, hat Penrose Legeregeln veröffentlicht. Diese werden in diesem Exponat durch puzzleartige Einkerbungen und Ausbuchtungen respektiert.

Zentrale Aufgaben bzw. Arbeits­aufträge in der "Lernumgebung" des Exponates

Welche Aufgabe/Aufgaben bzw. Arbeitsaufträge stehen im Zentrum des Exponates?

Im Zentrum des Exponats steht ein Tisch, der mit den Puzzleteilen belegt werden soll. Im Idealfall so, dass der Tisch lückenlos bedeckt ist. Zur Verfügung stehen zwei verschiedene Puzzleteile, auch Pfeile und Drachen genannt.

Historischer Hintergrund

Mathematiker nennen eine lückenlose Aneinanderreihung von einzelnen Steinen oder Fliesen, die insgesamt die ganze Ebene überdeckt, ein Parkett. Badezimmerfliesen bilden ein Parkett, genauso wie ein kariertes Blatt Papier. Genauer gesagt sind dies Ausschnitte aus einem unendlich großen Parkett. Aber sobald man den Ausschnitt kennt, weiß man wie es weitergeht, da sich ein bestimmtes Muster ergibt, das sich immer wieder wiederholt. In diesen Fällen funktioniert die Konstruktionsmethode durch Verschieben, man nennt diese Parkette periodisch. Das Penrose-Parkett ist jedoch aperiodisch. 26 Lange Zeit dachten die Mathematiker, dass sie nur mit periodischen Mustern eine Ebene überdecken können. Das erste aperiodische Parkett hatte über 20000 verschiedenen Kacheln, Roger Penrose konnte schließlich 1974 die Zahl der Kacheln auf zwei reduzieren.

Material-Raum-Arrangement

Welches Material wird benötigt? Welche Arbeitsblätter werden verwendet? Wie muss die "Tischsituation" vorbereitet sein?

Das Material, das benötigt wird, ist eine Fläche, auf dem die Puzzleteile aneinandergereiht werden können; im Idealfall ein Tisch. Dann benötigt man Puzzleteile die aus verschiedenem Material bestehen können. Am besten jedoch kindgerechte Bestandteile wie Holz, Plastik oder Schaumstoff, sodass die Kinder ohne Gefahr herumtüfteln können.

Wichtige Aspekte und Überlegungen zur Durchführung

Wie wird die Eingangssituation gestaltet? Wie ist der weitere Verlauf?

Die Teilnehmer finden einen Tisch vor, auf dem durcheinander die Puzzleteile liegen. Es sollte klargemacht werden, dass im Folgenden versucht werden soll, die Puzzleteile auf der vorgegebenen Fläche lückenlos aneinanderzufügen, um diese Fläche komplett auszufüllen.

Welche Sozialform wird verwendet? Gibt es eine Arbeitsphase?

Die Sozialform des Exponats kann sowohl eine Gruppenarbeit als auch eine Einzelarbeit sein. In beiden Sozialformen gibt es eine Arbeitsphase, in der herumprobiert wird und gepuzzelt werden kann.

Wie wird die Schlusssequenz im Sinne einer gemeinsamen Reflexion mit den Teilnehmern gestaltet?

Die Schlusssequenz könnte insofern gestaltet werden, als dass die Teilnehmer reflektieren (1) warum die Parkettierung des Tisches nicht geklappt hat oder (2) was an dem Parkett, welches sie gelegt haben, so besonders ist.

Welche Impulse/Fragen begleiten die einzelnen Phasen des Interagierens mit dem Exponat?

In welcher Reihenfolge sollte man die Puzzleteile am besten aneinandereihen?

"Lernzuwachs" der Teilnehmer

Welche mathematische Einsichten (Aha-Erlebnisse der Teilnehmer) können während der Situation gewonnen werden?

Die Teilnehmer können spielerisch erfahren, dass es möglich ist, bestimmte festgelegten geometrischen ebenen Figuren unendliche Parkette zu legen. Sie können ein erweitertes Begriffsverständnis zu den Begriffen, Muster, Parkett, Symmetrie, ebene Figur uvm. erlangen.

Stolpersteine im Verlauf der Situation

Welche inhaltlichen und organisatorischen Stolpersteine können während der Situation auftreten?

Ein Stolperstein könnte sein, dass die Teilnehmer nicht erkennen oder einsehen wollen, dass es tatsächlich möglich ist ein 10-eckiges aperiodisches Muster zu legen und dass sich tatsächlich nichts in dem Muster wiederholt.