OpenSource4School/Mathematik zum Anfassen/Das Spiegelbuch

Das Spielbuch

Kurzbeschreibung des Exponates

Wie kann das geplante Exponat kurz beschrieben werden?
Es gibt zwei Spiegel mit einer gemeinsamen Seite, der Winkel dazwischen kann geändert werden. Man kann die Anzahl der Spiegelbilder bei den verschiedenen Winkel beobachten und symmetrische Formen erzeugen.

Welche Teilnehmer sollen angesprochen werden?

Gibt es einen speziellen Adressatenkreis des Exponates?
Das Exponat eignet sich für alle Altersklassen.

Material-Raum-Arrangement

Welches Material wird benötigt? Welche Arbeitsblätter werden verwendet? Wie muss die "Tischsituation" vorbereitet sein?
Vorhanden ist ein Tisch auf dem das Spiegelbuch steht und drei dreidimensionale Schaumstofffiguren (ein Stab und zwei unterschiedlich große Dreiecke)

"Lernzuwachs" der Teilnehmer

Anzahl der Spiegelbilder und entstehende Vielecke

Welche mathematische Einsichten (Aha-Erlebnisse der Teilnehmer) können während der Situation gewonnen werden?

Die Schüler werden anhand des Spiegelbuches verstehen, dass besonders die Öffnungswinkel interessant sind, die sich als ganzzahlige Teiler von 360° ergeben, also Winkel der Größe 360°/n (mit n = 2,3,4,5,...).

Hier entstehen n-1 Spiegelbilder (man sieht also genau n Objekte, wenn man das reelle Objekt mitzählt). Legt man einen Stab symmetrisch zwischen die zwei Spiegel, dann sieht man ein n-Eck, das durch die Spiegelbilder des Stabes entsteht. Hat das Vieleck eine gerade Anzahl von Seiten, kann man diese halbieren indem man den Stab senkrecht zu einer Seite legt.

Zudem werden die Schüler durch das Ausprobieren verstehen wie die verschiedenen Spieglungen entstehen.

Mathematische Idee dahinter

Wie kann der mathematische Gehalt des geplanten Exponates beschrieben werden?

Das Prinzip des Spiegelbuches: Ein Spiegelbuch besteht nicht nur aus einem sondern aus zwei Spiegeln. Bei einem einfachen Spiegel hat jedes Objekt genau ein Spiegelbild. Beim Spiegelbuch spiegeln sich aber die Seiten zudem noch gegenseitig. Das Gesamtbild entsteht durch die mehrfache Reflexion in beiden Spiegeln. Eine erste Beobachtung zeigt: je kleiner der Winkel desto mehr Spiegelbilder entstehen. Man könnte denken, dass so unendlich viele Spiegelbilder entstehen. Aber manchmal ist es so, dass ein Spiegelbild des rechten (resp. linken) Spiegels und das entsprechende des linken (resp. rechten) Spiegels gleich sind. Dann werden also durch weitere Spiegelungen einfach nur die vorigen Bilder reproduziert und man erhält ein Muster aus lediglich endlich vielen Bildern. Wie diese Bilder prinzipiell entstehen, ist klar: Das Objekt spiegelt sich im rechten und im linken Spiegel. Aber auch das Spiegelbild des rechten Spiegels wird im linken gespiegelt. Und dieses Spiegelbild spiegelt sich wieder im rechten Spiegel. Und so weiter. Es entstehen sowohl Achsen- als auch Drehsymmetrien.