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Der Zweite ist immer der Erste

Bei diesem Exponat handelt es sich um ein Würfelspiel, bei dem der zweite Spieler mit hoher Wahrscheinlichkeit gewinnt.

Kurzbeschreibung des Exponates

Das Exponat besteht aus 4 Würfeln, die jedoch nicht Zahlen 1 bis 6 tragen, sondern folgendermaßen beschriftet sind:

• Der blaue Würfel trägt auf 3 Seiten die Zahl 1 und auf 3 Seiten die Zahl 5,

B(111555)

• Der gelbe Würfel trägt auf 2 Seiten die Zahl 0 und auf 4 Seiten die Zahl 4,

Y(004444)

• Der grüne Würfel trägt auf allen 6 Seiten die Zahl 3,

G(333333)

• Der rote Würfel trägt auf 4 Seiten die Zahl 2 und auf 2 Seiten die Zahl 6.

R(222266)

Die genaue Aufteilung der Seiten der einzelnen Würfel des Exponates.

Der erste Spieler wählt einen Würfel und würfelt. Der zweite Spieler wählt einen der drei übrigen Würfel und würfelt ebenfalls. Der Spieler mit der höheren gewürfelten Zahl gewinnt.

Es können/sollen mehrere Runden (10 oder 11) gespielt werden und der Spieler, der die meisten Runden für sich entscheiden konnte, gewinnt das Spiel. Ziel ist es, herauszufinden, warum der zweite Spieler immer einen Würfel wählen kann, mit dem er meistens gewinnt.

Welche Teilnehmer sollen angesprochen werden?

Das Exponat ist für jede Altersgruppe geeignet.

Man kann jedoch eine Unterscheidung je nach Wissensstand der Schüler machen:

* Untere Klassenstufen: Die Schüler können die verschiedenen Würfel gegeneinander antreten lassen und beobachten, dass kein Würfel der Beste ist.

* Obere Klassenstufen: Die Schüler können mit Hilfe von Baumdiagrammen und der Berechnung einfacherer Wahrscheinlichkeiten die Gewinnchancen berechnen und ihre Berechnungen am Exponat überprüfen.

In den oberen Klassenstufen bietet es sich an, das Exponat nicht sofort durchzuspielen, sondern die Schüler sollen erst die mathematische Modellierung ausarbeiten und diese dann mit Hilfe des Exponates bestätigen.

Wichtige Aspekte und Überlegungen zur Durchführung

Das Exponat wird als Partnerspiel angegeben, kann jedoch auch alleine entdeckt werden.

Strategie

Die Spieler sollen herausfinden, welchen Würfel der zweite Spieler wählen muss, um mit hoher Wahrscheinlichkeit gegen den ersten Spieler zu gewinnen.

Es bieten sich also mehrere Strategien an:

1. Jeden Würfel gegen die 3 Restlichen gegeneinander antreten lassen und den Gewinner notieren.

2. Willkürlich 2 Würfel auswählen und gegeneinander antreten lassen. Der Gewinner wird als zweiter Würfel gewertet. Dann wird eine neue Runde gespielt, indem der

Gewinnerwürfel nun als erster Würfel genommen wird und als zweiter, die beiden anderen Würfel ausprobiert werden.

3. Den grünen Würfel als Referenz nehmen und die anderen mit diesem vergleichen.

4. Die Gewinnchancen mit Hilfe von Baumdiagrammen darstellen.

Anmerkungen/Hinweise

Die Schüler sollen beobachten, dass es keinen besten Würfel gibt, jedoch für jeden Würfel einen Besseren.

• Bei diesen Würfeln tritt das Prinzip der Intransitivität auf. Der Lehrer kann, wenn die Schüler den Begriff der Transitivität schon kennen, an diesen erinnern, oder gegebenenfalls kurz erläutern und mit einem einfachen Beispiel untermauern.

Per se ist eine Beziehung (Relation) zwischen Objekten transitiv, wenn aus A $\Rightarrow$ B und B $\Rightarrow$ C folgt, dass auch A $\Rightarrow$ C.

Ein einfaches Beispiel der Transitivität lautet:

Ich bin Luxemburger, ein Luxemburger ist ein Europäer, also bin ich ein Europäer.

• Obwohl es sich nicht um Standardwürfel handelt, sind die Würfel jedoch ehrlich, was bedeutet, dass alle Werte auf den Seitenflächen mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten.
• Diese Würfel sind nicht die einzigen intransitiven Würfel. Hier ein weiteres Beispiel: B(2; 3; 3; 9; 10; 11); Y (0; 1; 7; 8; 8; 8);G(5; 5; 6; 6; 6; 6);R(4; 4; 4; 4; 12; 12)
• Ein bekanntes intransitives Spiel ist Schere, Stein, Papier. Die Schere gewinnt gegen das Papier und das Papier gewinnt gegen den Stein. In einem transitiven Spiel müsste die Schere also gegen den Stein gewinnen, hier verliert sie jedoch.

Historischer Hintergrund

Die Würfel des Spieles sind nach ihrem Erfinder, dem amerikanischen Statistiker und Professor der Statistik an der Stanford University, Bradley Efron (*1938), benannt.

Mathematischer Gehalt

Es gilt, herauszufinden, welcher Würfel die besten Gewinnchancen hat, sobald der erste Würfel ausgewählt wurde.

Die Gewinnwahrscheinlichkeiten werden mit Hilfe von Baumdiagrammen berechnet.

Blau als erster Würfel:

Angenommen, der erste Spieler wählt den blauen Würfel. Der zweite Spieler hat daraufhin die Wahl zwischen den drei restlichen Würfeln (gelb, grün oder rot). Die Gewinnchancen jeder dieser drei Würfel wird wie folgt berechnet:

Mit dem gleichen Prinzip können die restlichen Gewinnwahrscheinlichkeiten berechnet werden.

Hier eine Tabelle, die die Gewinnchancen resümiert, wobei P(E) die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Spieler gewinnt, angibt:

Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Spieler gewinnt.

Die Berechnungen belegen also, dass es keinen besten Würfel gibt, sondern, dass, wenn man die folgende Reihenfolge einhält, der zweite Würfel mit

einer Wahrscheinlichkeit von über 50% gewinnt:

$R\longrightarrow B\longrightarrow Y\longrightarrow G\longrightarrow R$

Die Tabelle veranschaulicht außerdem, dass, wenn alle Würfel gegeneinander antreten, der rote Würfel die besten Gewinnchancen hat.

Quellen

Für weitere Informationen und Arbeitsblätter empfehlen wir folgende Quellen:

• https://lehrerfortbildung-bw.de/u_matnatech/mathematik/bs/6bg/6bg2/download/documents/807_d_efronsche_wuerfel_ab_ta.pdf
• http://www.mathematikum.de/uploads/media/Zusatzmaterial_Lehrer_01.pdf
• http://www.hib-wien.at/leute/wurban/mathematik/NontransitiveDice.pdf