Mozart - Das musikalische Würfelspiel

Exponat: Mozart - Das musikalische Würfelspiel

Bei dieser Komposition Mozarts soll der Spieler zwei Würfel insgesamt 16 Mal würfeln und die Augensummen in den Computer eingeben.

Dadurch werden 16 Takte nach bestimmten Regeln ausgewählt und der Computer spielt einen Walzer, den der Spieler mit Hilfe des Zufallsgenerators der beiden Würfel gerade komponiert hat.

Es gibt insgesamt fast 760 Billionen verschiedene Musikstücke!

Historischer Hintergrund

Bei diesem Exponat handelt es sich um ein sogenanntes musikalisches Würfelspiel.

Diese Spiele, die ab dem Ende des 18: Jahrhunderts in Europa entstanden, waren zur Unterhaltung und zum Zeitvertreib gedacht. Mit ihnen konnte jeder zum Komponist werden, unter der Voraussetzung, das vorgegebene Instrument zu spielen und Noten lesen zu können.

Das älteste musikalische Würfelspiel stammt aus der Feder des deutschen Komponisten Johann Philipp Kirnberger, das bekannteste und zeitgleich auch das, welches in diesem Exponat angewandt wird, verdanken wir jedoch Wolfgang Amadeus Mozart.

Die meisten musikalischen Würfelspiele wurden für das Klavier geschrieben und waren bis Mitte des 19: Jahrhunderts sehr beliebt, bevor sie zeitweise verschwanden. Erst mit der neu aufkommenden elektronischen Rechentechnik Ende des 20: Jahrhunderts wird diese Art von Komposition wiederentdeckt und zu automatisch generierten Musikstücken gemacht. Dies ist einer der Ursprünge unserer heutigen Mp3-Player/IPods.

Anmerkungen

Das Programm, welches auf dem Computer abgespeichert ist, funktioniert wie folgt: Die einzelnen Takte sind in Form von Dateien auf dem Computer abgespeichert. Da man sowohl selber würfeln, als auch den Computer diese Arbeit machen lassen kann, sind im Computer die Würfel durch einen Zufallsgenerator ersetzt worden. Die einzelnen Takte werden dann mit Hilfe der Takttabelle zu einer neuen Datei zusammengesetzt.
Das Ziel der meisten musikalischen Würfelspiele ist es, ein gleichmäßiges und wohlklingendes Musikstück zu erzeugen. Deshalb wählte man für diese Spiele periodische und harmonisch nach einem bestimmten Schema ablaufende Musikstile wie zum Beispiel einen Walzer oder ein Menuett.

Es wurde eine Grundkomposition geschrieben und ausgehend von dieser 10 Variationen komponiert. Mit Hilfe des Würfels wird bestimmt, welcher Takt aus welcher Variation gespielt wird.

Wenn Mozart jede Sekunde seines Lebens eines der möglichen Stücke gespielt hätte und bis heute (250 Jahre später) fortgesetzt hätte, hätte er nur etwa ein hundertstel Promille aller Möglichkeiten durchgespielt. Das bedeutet, dass jedes Stück, welches der Computer abspielt, mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit eine Uraufführung ist.

Ein anderer Zufallsgenerator für musikalische Spiele waren Spielkarten.

Anzahl der möglichen Stücke

Die Komposition besteht aus 16 Takten, wobei das Stück in 2 Teile aufgeteilt ist. Der 8: und der 16: Takt sind die Schlusstakte der jeweiligen Teile.

Die Takte, aus denen sich das Musikstück am Ende zusammensetzt, sind nicht willkürlich ausgewählt, sondern folgend gewissen Regeln. Hier benutzt man eine sogenannte Takttabelle.

Takttabelle: Mozart - Ein musikalisches Würfelspiel
	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII	XIII	XIV	XV	XVI
2	96	22	141	41	105	122	11	30	70	121	26	9	112	49	109	14
3	32	6	128	63	146	46	134	81	117	39	126	56	174	18	116	83
4	69	95	158	13	153	55	110	24	66	139	15	132	73	58	145	79
5	40	17	113	85	161	2	159	100	90	176	7	34	67	160	52	170
6	148	74	163	45	80	97	36	107	25	143	64	125	76	136	1	93
7	104	157	27	167	154	68	118	91	138	71	150	29	101	162	23	151
8	152	60	171	53	99	133	21	127	16	155	57	175	43	168	89	172
9	119	84	114	50	140	86	169	24	120	88	48	166	51	115	72	111
10	98	142	42	156	75	129	62	123	65	77	19	82	137	38	149	8
11	3	87	165	61	135	47	147	33	102	4	31	164	144	59	173	78
12	54	130	10	103	28	37	106	5	35	20	108	92	12	124	44	131

Die Tabelle zeigt an, welchen Takt man auswählen muss.

Sie besteht aus 11 Zeilen, die den Augensummen 2 bis 12 und aus 16 Spalten, die den zu komponierenden Takten entsprechen. Würfelt man zum Beispiel beim ersten Wurf eine 6 und eine 1, so ergibt die Augensumme 7, wählt man den Eintrag in Zeile 7 der Spalte I, die Nummer 104. Dies ist der erste Takt des zu komponierenden Stückes. Würfelt man dann beim zweiten Wurf eine 2 und eine 1, so wählt man den Eintrag in Zeile 3 der Spalte II, die Nummer 6. Dies ist der zweite Takt des zu komponierenden Stückes und wird dem Ersten hinzugefügt. Mit dem 16. Wurf ist die Komposition vollendet und der Computer spielt das Stück vor.

Doch wie groß ist die Anzahl aller möglichen Stücke?

Für jeden Takt stehen 11 Möglichkeiten zur Verfügung. Es handelt sich also um eine Variation mit Wiederholung, es werden 16 Objekte aus 11 möglichen Objekten unter Beachtung der Reihenfolge ausgewählt, wobei Objekte auch mehrfach ausgewählt werden können.

Die Anzahl aller möglichen Stücke beträgt also theoretisch:

$B_{11}^{16}=11^{16}=45949729863572161.$

Nun ist es jedoch so, dass Mozart die Schlusstakte der beiden Teile des Musikstückes etwas modifziert hat:

Für den 8. Takt sieht er, egal welche Augensumme gewürfelt wird, immer den gleichen Takt (welchen?) und für den 16: Takt nur zwei Möglichkeiten (welche?)vor. Die Zahlen in der Tabelle sind für diese Takte irrelevant.

Die Rechnung sieht also folgendermaßen aus:

$B_{11}^{14}\cdot 1\cdot 2=11^{14}\cdot 2=759499667166482.$

Das musikalische Würfelspiel von Mozart ermöglicht also fast 760 Billionen verschiedene Musikstücke.

OpenSource4School/Mathematik zum Anfassen/Mozart Das musikalische Wuerfelspiel

Inhaltsverzeichnis

Mozart - Das musikalische Würfelspiel

Historischer Hintergrund

Anmerkungen

Anzahl der möglichen Stücke

Quellen

	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII	XIII	XIV	XV	XVI
2	96	22	141	41	105	122	11	30	70	121	26	9	112	49	109	14
3	32	6	128	63	146	46	134	81	117	39	126	56	174	18	116	83
4	69	95	158	13	153	55	110	24	66	139	15	132	73	58	145	79
5	40	17	113	85	161	2	159	100	90	176	7	34	67	160	52	170
6	148	74	163	45	80	97	36	107	25	143	64	125	76	136	1	93
7	104	157	27	167	154	68	118	91	138	71	150	29	101	162	23	151
8	152	60	171	53	99	133	21	127	16	155	57	175	43	168	89	172
9	119	84	114	50	140	86	169	24	120	88	48	166	51	115	72	111
10	98	142	42	156	75	129	62	123	65	77	19	82	137	38	149	8
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12	54	130	10	103	28	37	106	5	35	20	108	92	12	124	44	131

	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII	XIII	XIV	XV	XVI
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6	148	74	163	45	80	97	36	107	25	143	64	125	76	136	1	93
7	104	157	27	167	154	68	118	91	138	71	150	29	101	162	23	151
8	152	60	171	53	99	133	21	127	16	155	57	175	43	168	89	172
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10	98	142	42	156	75	129	62	123	65	77	19	82	137	38	149	8
11	3	87	165	61	135	47	147	33	102	4	31	164	144	59	173	78
12	54	130	10	103	28	37	106	5	35	20	108	92	12	124	44	131

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7	104	157	27	167	154	68	118	91	138	71	150	29	101	162	23	151
8	152	60	171	53	99	133	21	127	16	155	57	175	43	168	89	172
9	119	84	114	50	140	86	169	24	120	88	48	166	51	115	72	111
10	98	142	42	156	75	129	62	123	65	77	19	82	137	38	149	8
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