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Wo geht´s am schnellsten runter?

Exponat: Wo geht's am Schnellsten runter?

Kurzbeschreibung des Exponates

Wie kann das geplante Exponat kurz beschrieben werden?

Das Exponat besteht aus drei Kugelbahnen: eine geradlinige Bahn und zwei identisch gebogene Bahnen, die am Anfang steil abfallen und am Ende flach auslaufen.

Welche Teilnehmer sollen angesprochen werden?

Gibt es einen speziellen Adressatenkreis des Exponates?

Das Exponat erfordert kein mathematisches Vorwissen um in der Lage zu sein die Experimente durchzuführen. Es gibt also keine bestimmte Zielgruppe; es werden sowohl Kinder und Jugendliche, als auch Erwachsene angesprochen.

Mathematischer Gehalt

Wie kann der mathematische Gehalt des geplanten Exponates beschrieben werden?

Dieses Exponat beschäftigt sich mit der Energieumwandlung: Vor dem Start, sind die Kugeln regungslos und besitzen aus diesem Grund ihre maximale potentielle Energie. Während des Wettrennen, wird ein Teil dieser potentiellen Energie in Bewegungsenergie umgewandelt.

Warum ist die Kugel auf der gekrümmten Bahn schneller als die auf der geraden, obwohl sie doch eine längere Strecke zurücklegen muss? Durch die Erdanziehung werden beide Kugel während ihres Laufs immer schneller, bis sie beim Zieleinlauf ihre maximale Geschwindigkeit erreicht haben. Diese Maximalgeschwindigkeit ist bei beiden gleich, da an dieser Stelle jeweils die gesamte potentielle Energie vom Anfang in Bewegungsenergie umgewandelt ist. Aber die Kugel auf der gekrümmten Bahn nimmt viel schneller an Geschwindigkeit zu - oder anders gesagt: die Beschleunigung ist größer-, da diese Bahn am Anfang steiler abfällt und erhält somit so viel Schwung, sodass das flache Auslaufen der Kurve nichts mehr ausmacht. Genauer gesagt ist es so, dass sich die Kugel auf der gekrümmten Bahn - außer bei Start und Ziel - immer tiefer befindet als die Kugel auf der geraden Bahn. Daher hat die Kugel auf der gekrümmten Bahn immer mehr Bewegungsenergie und ist also zu jeder Zeit schneller.

Die gebogene Bahn des Exponats ist eine ganz besondere: Es ist die "schnellste" gekrümmte Bahn und trägt deshalb den griechischen Namen "Brachystochrone". Die Brachystochrone ist die Bahn zwischen einem Anfangs- und einem gleich hoch oder tiefer gelegenen Endpunkt, auf der ein sich reibungsfrei bewegender Massenpunkt unter dem Einfluss der Gravitationskraft am schnellsten zum Endpunkt gleitet.

Brachistochrone

Diese schnellste Kugelbahn hat noch eine weitere Eigenschaft, die bei dem zweiten Experiment klar wird: Die Kugel benötigt, unabhängig an welcher Stelle der Bahn man die Kugel loslässt, die gleiche Zeit um ins Ziel zu gelangen. Aus diesem Grund ist Kurve gleichzeitig eine "Tautochrone".

Tautochronie der Zykloide

Die Brachystochrone ist Teil der Zykloide. Genauer gesagt ist eine Zykloide die Bahnkurve eines Kreispunktes beim Abrollen des Kreises auf einer Geraden. die Zykloide hat folgende Parameterdarstellung:

x(t)=r(t-sin(t)) und y(t)=r(1-cos(t))

Ein Fixpunkt auf einem rollenden Kreis zeichnet eine Zykloide

Zentrale Aufgaben bzw. Arbeits­aufträge in der "Lernumgebung" des Exponates

Welche Aufgabe/Aufgaben bzw. Arbeitsaufträge stehen im Zentrum des Exponates?

Die Besucher sollen zwei Experimente durchführen:

1. erstes Experiment: Die Aufgabe besteht darin je eine Kugel auf der geraden Bahn und auf einer der gebogenen Bahnen gleichzeitig starten zu lassen und die Frage "Wo geht's am schnellsten runter?" zu beantworten. Das Ziel ist es zu erkennen, dass die Kugel auf der gebogenen Bahn mehr Schwung als die auf der geraden Bahn erhält und somit als erste ins Ziel rollt.
2. zweites Experiment: Die Schülerinnen und Schüler legen je eine Kugel auf je eine der beiden identisch gebogenen Bahnen und zwar an zwei unterschiedlichen Höhen, und sollen feststellen, dass die Kugeln gleichzeitig ins Ziel rollen.

Material-Raum-Arrangement

Welches Material wird benötigt? Welche Arbeitsblätter werden verwendet? Wie muss die "Tischsituation" vorbereitet sein?

Man benötigt nur zwei Kugeln, die den Besuchern zur Verfügung gestellt werden. Man sollte auf ausreichenden Platz achten damit jeder Einzelne aus einer Gruppe eine gute Sicht auch den Zieleinlauf hat.

Wichtige Aspekte und Überlegungen zur Durchführung

Wie wird die Eingangssituation gestaltet? Wie ist der weitere Verlauf?

Zunächst einmal wird den Teilnehmern die Zeit gegeben, sich mit dem Exponat in Ruhe auseinander zu setzen und die Experimente duchzuführen.

Welche Sozialform wird verwendet? Gibt es eine Arbeitsphase?

Hier eignen sich sowohl Einzel- als auch Gruppenarbeit. Dennoch ist Gruppenarbeit am Sinnvollsten, da die Jugendlichen ihre Ideen und Überlegungen untereinander austauschen können.

Wie wird die Schlusssequenz im Sinne einer gemeinsamen Reflexion mit den Teilnehmern gestaltet?

Die Schlusssequenz im Sinne einer gemeinsamen Reflexion kann so gestaltet werden, dass jeder Teilnehmer seine Meinung bezüglich der Experimente äußern kann und seine eigene Überlegungen mitteilen kann. Danach kann eine Schlussfolgerung gezogen werden.

"Lernzuwachs" der Teilnehmer

Welche mathematische Einsichten (Aha-Erlebnisse der Teilnehmer) können während der Situation gewonnen werden?

Die Besucher (vor allem die jüngeren) lernen bei diesem Exponat eine wichtige Lektion:

"Der kürzeste Weg ist nicht immer der schnellste!"

Denn, beim ersten Experiment, werden sich die meisten Besucher für die geradlinige Bahn entscheiden, da es die kürzeste Verbindung zwischen Start und Ziel ist. Doch die Entscheidung ist falsch, denn die Kugel auf der gebogenen Bahn hat einen klaren Vorsprung (siehe Begründung "mathematischer Gehalt").

Stolpersteine im Verlauf der Situation

Welche inhaltlichen und organisatorischen Stolpersteine können während der Situation auftreten?

Beim ersten Versuch kann es passieren, dass die Besucher nicht ausmachen können, welche Kugel als erstes ins Ziel läuft. Sie müssen sich daher sehr konzentrieren, da das Wettrennen der Kugeln nur weinige Sekunden dauert und es schwer wird, zu erkennen, welche Kugel als erstes ins Ziel läuft.