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Die Riesenseifenhaut & Wunderbare Seifenhäute

Riesenseifenhaut

Kurzbeschreibung des Exponates

Wie kann das geplante Exponat kurz beschrieben werden?

Man hat die Möglichkeit verschiedene Kantenmodelle in Seifenlauge zu tauchen und sich viele unterschiedliche Seifenmuster anzuschauen. Des Weiteren besteht die Möglichkeit sich selbst von einer Riesenseifenblase umhüllen zu lassen.

Welche Teilnehmer sollen angesprochen werden?

Gibt es einen speziellen Adressatenkreis des Exponates?

Jeder, ob jung oder alt, klein oder groß, kann sich mit diesen Seifenblasen beschäftigen und vor allem die Riesenseifenblase wird für jeden etwas Besonderes sein.

Mathematischer Gehalt

Wie kann der mathematische Gehalt des geplanten Exponates beschrieben werden?
Leonhard Euler hat 1744 herausgefunden und bewiesen, dass eine Katenoide die kleinstmögliche, nicht triviale Fläche eines euklidischen dreidimensionalen Raumes ist. Die Riesenseifenhaut bekommt also eine Katenoidenform. Die Frage, wie die Oberfläche einer Seifenblase aussieht, ist ein Minimierungsproblem und daher für die Mathematik interessant. Die Oberfläche soll so klein wie möglich sein, mit der Bedingung, dass das Volumen gleich groß bleibt. Hier kommen Variationsrechnungen der Mathematik ins Spiel, die zur einzigen möglichen Lösung führen, dass Oberflächen von Kugeln dieses Problem lösen. Das ist der mathematische Grund, warum Seifenblasen „eigentlich“ rund sind. Mathematisch wird die Form nach den folgenden Parametrierungen gegeben. In Polar Koordinaten:
$X=c\cdot cosh({\tfrac {v}{c}})cos(u)$
$Y=c\cdot cosh({\tfrac {v}{c}})sin(u)$
Z=v
u ∈ [-π, π), v ∈ $\mathbb {R}$, c ∈ $\mathbb {R} ,c\neq 0$.
Und in Zylinderkoordinaten:

ρ=$c\cdot cosh({\tfrac {z}{c}})$, c∈ $\mathbb {R}$

Aber wenn wir ein Drahtgebilde nehmen und dieses in eine Seifenlauge tauchen, kommt keine runde Seifenblase hervor. Hier wird das Problem komplizierter. Dieses nennt man Plateau-Problem. Es handelt sich wieder um ein Minimierungsproblem, mit der Randbedingung, dass die Seifenblase auf einem bestimmten Drahtgebilde enden soll. Flächen, die dieses Problem lösen, werden Minimalflächen genannt.
Definition: "Eine Minimalfläche ist eine Fläche im Raum, die lokal minimalen Flächeninhalt hat. Derartige Formen nehmen beispielsweise Seifenhäute an, wenn sie über einen entsprechenden Rahmen (wie etwa einen Blasring) gespannt sind."
Beweis der Minimalfläche im Würfel:
Die Gesamtfläche besteht aus der Oberfläche des kleinen Würfels und den Flächen der acht Trapeze und der vier Dreiecke.
Sei a= Seite des großen Würfels, und b= Seite des kleinen Würfels. Wir versuchen das Verhältnis zwischen a und b zu finden. Berechnen wir als erstes die Höhen h₁ und h₂.
Die Höhe h₁ ist die Höhe der Trapeze und h₂ die Höhe der Dreiecke. Beginnen wir mit den Dreiecken. Damit der Rechenweg einfacher ist, kann man den Würfel von der Seite betrachten und man sieht dann die Figur 1 :

Figur 1

Anhand der Figur berechnen wir h₂. Man weiß, dass die Diagonale des Dreiecks genau $a{\sqrt {2}}$ beträgt und des Quadrates $b{\sqrt {2}}$. Also können wir folgende Gleichung aufstellen:
$a{\sqrt {2}}=2\cdot h_{2}+b{\sqrt {2}}$ $\Leftrightarrow h_{2}={\tfrac {a-b}{2}}{\sqrt {2}}$

Kommen wir zu der Höhe h₂. Hier betrachtet man den Würfel von der Seite und man bekommt die Figur 2:

Figur 2

Um die Höhe h₁ zu berechnen benutzt man Pythagoras:

$(h_{1})^{2}=\left({\tfrac {a-b}{2}}\right)^{2}+\left({\tfrac {a}{2}}\right)^{2}$
$(h_{1})^{2}=\left({\tfrac {a-b}{2}}\right)^{2}+\left({\tfrac {a}{2}}\right)^{2}$
$h_{1}={\sqrt {\left({\tfrac {a}{2}}\right)^{2}+{\tfrac {a^{2}}{4}}-{\tfrac {ab}{2}}+{\tfrac {b^{2}}{4}}}}$

Jetzt können wir die Formeln von Flächen des Trapezes und Dreiecks nehmen und alles hinzufügen:
$T(a,b)={\tfrac {1}{2}}(a+b)\cdot h_{1}={\tfrac {1}{2}}(a+b){\sqrt {{\tfrac {a^{2}}{4}}+{\tfrac {a^{2}}{4}}-{\tfrac {ab}{2}}+{\tfrac {b^{2}}{4}}}}={\tfrac {1}{2}}(a+b){\sqrt {{\tfrac {a^{2}}{2}}-{\tfrac {ab}{2}}+{\tfrac {b^{2}}{4}}}}$
$D(a,b)={\tfrac {1}{2}}\cdot a\cdot h_{2}={\tfrac {1}{2}}\cdot a\cdot {\tfrac {a-b}{2}}{\sqrt {2}}={\tfrac {\sqrt {2}}{4}}\cdot a\cdot (a-b)$

Die Gesamtfläche der Seifenhaut ist also:

$F(a,b)=8\cdot T(a,b)+4\cdot D(a,b)+b^{2}=8\cdot {\tfrac {1}{2}}(a+b){\sqrt {{\tfrac {a^{2}}{2}}-{\tfrac {ab}{2}}+{\tfrac {b^{2}}{4}}}}+4\cdot {\tfrac {\sqrt {2}}{4}}\cdot a\cdot (a-b)+b^{2}=2\cdot (a+b){\sqrt {a^{2}+(a-b)^{2}}}+{\sqrt {2}}\cdot a\cdot (a-b)+b^{2}$

Jetzt kann man mit Ableitungen respektiv zu b arbeiten um die Minimalfläche finden:

$F'(a,b)=2\cdot {\sqrt {a^{2}+(a-b)^{2}}}-{\tfrac {2\cdot (a^{2}-b^{2})}{\sqrt {a^{2}+(a-b)^{2}}}}+2b-{\sqrt {2}}a$

Eine analytische Lösung ist jedoch unmöglich zu finden aber durch numerische Näherungsverfahren kann folgende Nullstelle von $F'(a,b)$ bestimmt werden: $b\approx 0.07289a$.

Für den Tetraeder, gibt es insgesamt 6 Dreiecke mit derselben Fläche deswegen bekommt man folgende Rechnungen:

$A={\frac {\sqrt {2}}{8}}\cdot a^{2}$

Also hat man insgesamt eine Fläche von:

$A={\frac {3}{4}}{\sqrt {2}}\cdot a^{2}\approx 1.06a^{2}$

Die normale Fläche eines Tetraeders ist:

$A=4\cdot {\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot a^{2}\approx 1.73a^{2}$

Zentrale Aufgaben bzw. Arbeits­aufträge in der "Lernumgebung" des Exponates

Welche Aufgabe/Aufgaben bzw. Arbeitsaufträge stehen im Zentrum des Exponates?

1. Überlege dir was die Seifenblase mit der Mathematik zu tun hat?
2. Wie verhält sich die Seifenblase, wenn du die verschiedenen Drahtgebilde in die Seifenlauge tauchst? Fällt dir was auf?
3. Wie verhält sich die Riesenseifenblase, wenn du diese langsam um dich herum hochziehst? Was fällt dir auf?

Material-Raum-Arrangement

Welches Material wird benötigt? Welche Arbeitsblätter werden verwendet? Wie muss die "Tischsituation" vorbereitet sein?

Drahtgebilde und Seifenlauge

Wichtige Aspekte und Überlegungen zur Durchführung

Zu Beginn sollen die Kinder erst einmal mit dem Exponat experimentieren. Nach mehrmaligen Wiederholen und ausprobieren, sollten sich die Experimentierenden Gedanken über den mathematischen Gehalt dieser Aufgabe machen. Was haben Seifenblasen mit Mathematik zu tun? Hier sollen die Kinder neben dem Spaß an dem Spiel mit den Seifenblasen, sich auch auf die mathematischen Inhalte dessen beziehen. Warum ist eine Seifenblase eigentlich rund und warum gibt es sie dennoch in verschiedenen Formen, wenn man diese Drahtgebilde in die Seifenlauge taucht?

"Lernzuwachs" der Teilnehmer

Welche mathematische Einsichten (Aha-Erlebnisse der Teilnehmer) können während der Situation gewonnen werden?

Die Teilnehmer können sich überlegen, was die Seifenblase überhaupt mit der Mathematik zu tun hat. Dass eine Seifenblase auch auf die Mathematik bezogen, viele interessante und hilfreiche Hinweise und Aufschlüssen geben kann, ist den meisten bestimmt nicht bewusst. Der Gedanke, warum eine Seifenblase eigentlich rund ist und man die Form dieser aber auch verändern kann, ohne dass sie platzt, kann zu weiterführender Nachforschung führen. Ebenso wie das Verhalten einer (Riesen-)Seifenblase, bevor diese platzt.

Stolpersteine im Verlauf der Situation

Welche inhaltlichen und organisatorischen Stolpersteine können während der Situation auftreten?

Neben nasser Kleidung oder Seifenwasser in den Augen, könnte es sein, dass der Spaßfaktor des Exponats zu groß ist, weshalb ggf. kein Interesse für die mathematischen Hintergründe geweckt wird.