Ordnungsrelation/Elementare Beispiele/Einführung/Textabschnitt

Eine reflexive, transitive und antisymmetrische Relation nennt man eine Ordnung, wofür man häufig ein Symbol wie ${}\geq ,\leq ,\preccurlyeq ,\subseteq$ verwendet. Diese haben wir schon im Kontext von angeordneten Ringen besprochen.

Definition

Eine Relation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$ heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist ${}i\preccurlyeq i$ für alle ${}i\in I$.
2. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq k$ folgt stets ${}i\preccurlyeq k$.
3. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq i$ folgt ${}i=j$.

Eine Menge mit einer fixierten Ordnung darauf heißt geordnete Menge. Wenn zusätzlich gilt, dass für je zwei Elemente ${}x\leq y$ oder ${}y\leq x$ gilt, so spricht man von einer total geordneten Menge.

Beispiel

Die reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ (ebenso die rationalen Zahlen und die ganzen Zahlen) sind total geordnet durch die Größergleichrelation ${}\geq$. Dies gehört zum Begriff des angeordneten Körpers, der nicht nur verlangt, dass eine totale Ordnung erklärt ist, sondern auch, dass diese mit den algebraischen Operationen verträglich ist. Die strikte Größerrelation ${}>$ ist keine Ordnungsrelation, da sie nicht reflexiv ist. Der Körper der komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ ist nicht angeordnet (und lässt sich auch nicht anordnen).

Beispiel

Wir betrachten die positiven ganzen Zahlen ${}\mathbb {N} _{+}$ zusammen mit der Teilbarkeitsbeziehung. Man sagt, dass eine Zahl ${}k$ die Zahl ${}n$ teilt, geschrieben

$k{|}n,$

wenn es eine weitere natürliche Zahl ${}m$ mit

${}n=km$ gibt. Die Bezeichnung ist nicht sonderlich glücklich gewählt, da ein symmetrisches Symbol für eine nichtsymmetrische Relation verwendet wird. Die Teilbarkeitsrelation ist in der Tat reflexiv, da stets ${}n{|}n$ ist, wie ${}m=1$ zeigt. Die Transitivität sieht man so: sei ${}k{|}n$ und ${}n{|}m$ mit ${}n=ak$ und ${}m=bn$. Dann ist ${}m=bn=bak$ und daher ${}k{|}m$. Die Antisymmetrie folgt so: Aus ${}n=ak$ und ${}k=bn$ folgt ${}n=(ab)n$. Da wir uns auf positive natürliche Zahlen beschränken, folgt ${}ab=1$ und daraus ${}a=b=1$. Also ist ${}k=n$ Einfache Beispiele wie $2$ und $3$ zeigen, dass hier keine totale Ordnung vorliegt, da weder ${}2$ von ${}3$ noch umgekehrt geteilt wird.

Beispiel

Es sei ${}M$ eine beliebige Menge und ${}R={\mathfrak {P}}\,(M)$ die Potenzmenge davon. Dann sind die Elemente aus ${}R={\mathfrak {P}}\,(M)$ - also die Teilmengen von ${}M$ - durch die Inklusionsbeziehung ${}\subseteq$ geordnet. Die Reflexivität bedeutet einfach, dass eine jede Menge in sich selbst enthalten ist und die Transitivität bedeutet, dass aus ${}T_{1}\subseteq T_{2}$ und ${}T_{2}\subseteq T_{3}$ die Inklusion ${}T_{1}\subseteq T_{3}$ folgt. Die Antisymmetrie ist dabei ein wichtiges Beweisprinzip für die Gleichheit von Mengen: Zwei Mengen ${}T_{1},T_{2}$ sind genau dann gleich, wenn ${}T_{1}\subseteq T_{2}$ und umgekehrt ${}T_{2}\subseteq T_{1}$ gilt.

Beispiel

Es sei ${}X$ eine Menge (beispielsweise ein reelles Intervall, oder ein topologischer Raum), so ist die Menge der (stetigen) Funktionen ${}f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ geordnet, indem man ${}f\geq g$ dadurch definiert, dass ${}f(x)\geq g(x)$ für jeden Punkt ${}x\in X$ sein muss. Dies ist offensichtlich keine totale Ordnung.