Orthogonalität/Reflexionsgesetz/Bemerkung

Es sei ein euklidischer Vektorraum und ein Untervektorraum mit dem orthogonalem Komplement . Es sei ein affiner Unterraum und , , ein Vektor und die Gerade durch einen Punkt mit dem Richtungsvektor . Man denke bei an eine fixierte Gerade (eine Bande) in der Ebene oder eine Spiegelungsebene im Raum und bei an die Richtung einer Billardkugel oder eines Lichtstrahls, die Bewegung ist durch die Abbildung , , gegeben.

Wenn die Bewegung auf trifft, so wird die Bewegung nach dem Reflexionsgesetz reflektiert, dabei gilt die Beziehung Einfallswinkel ist gleich Ausfallswinkel. Wir bestimmen den Ausfallsvektor und die Gesamtbewegung. Wir können annehmen und dass die Bewegung zum Zeitpunkt diesen Punkt erreicht. Der Einfallsvektor besitzt nach Fakt eine eindeutige Zerlegung

mit und . Der Vektor wird also zerlegt in die Spiegelungskomponente und in die Lotkomponente . Der Ausfallsvektor ist dann gleich , es gilt

Ein Vektor, der zu gehört, wird gar nicht reflektiert, ein Vektor, der senkrecht auf steht, wird in sein Negatives reflektiert. Die gesamte (ungebremste) Bewegung ist durch

gegeben.