Paarweise direkte Summe/Keine direkte Summe/Aufgabe/Lösung

Es sei

${}V=K^{2}\,$

und ${}U_{1}=Ke_{1}$, ${}U_{2}=Ke_{2}$ und ${}U_{3}=K{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$. Die Summe der drei Unterräume ist ${}K^{2}$, da dies schon für die ersten beiden Unterräume gilt. Da die drei Vektoren paarweise linear unabhängig sind, ist

${}U_{i}\cap U_{j}=0\,$

für ${}i\neq j$. Wegen

${}U_{1}+U_{2}=K^{2}\,$

ist

${}(U_{1}+U_{2})\cap U_{3}=U_{3}\neq 0\,$

und somit ist die Summe nicht direkt.

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