Parabelschar/Eingeschlossene Fläche/1/Aufgabe/Lösung

Damit es zu einem Einschluss kommt, muss ${}a$ negativ sein. Die Nullstellen von ${}x^{2}+a$ sind dann ${}\pm {\sqrt {-a}}$. Das bestimmte Integral ist

${}{\begin{aligned}\int _{-{\sqrt {-a}}}^{\sqrt {-a}}x^{2}+adx&=\left({\frac {1}{3}}x^{3}+ax\right)|_{-{\sqrt {-a}}}^{\sqrt {-a}}\\&={\frac {2}{3}}{\sqrt {-a}}^{3}+2a{\sqrt {-a}}\\&=-{\frac {2}{3}}a{\sqrt {-a}}+2a{\sqrt {-a}}\\&={\frac {4}{3}}a{\sqrt {-a}}.\end{aligned}}$

Damit dies gleich ${}-1$ wird, muss ${}a$ die Gleichung

${}a{\sqrt {-a}}=-{\frac {3}{4}}\,$

bzw.

${}{\sqrt {-a}}^{3}={\frac {3}{4}}\,$

erfüllen. Also ist

${}(-a)^{3}={\frac {9}{16}}\,$

und

${}a=-{\sqrt[{3}]{\frac {9}{16}}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe