Partialbruchzerlegung/Q/1 durch (X^4+1)(X^2+1)/Aufgabe/Lösung

a) Das Polynom ${}X^{2}+1$ ist für rationale (auch reelle) Zahlen stets positiv und besitzt daher keine Nullstelle. Nach Fakt ist es somit irreduzibel.

b) Über ${}\mathbb {R}$ hat man die Faktorisierung

${}X^{4}+1={\left(X^{2}+{\sqrt {2}}X+1\right)}{\left(X^{2}-{\sqrt {2}}X+1\right)}\,.$

Die beiden Faktoren haben keine reelle Nullstelle, da ${}X^{4}+1$ stets positiv ist. Eine Zerlegung über ${}\mathbb {Q}$ würde zu der gegebenen Zerlegung über ${}\mathbb {R}$ führen, wegen ${}{\sqrt {2}}\not \in \mathbb {Q}$ gehören aber ${}X^{2}+{\sqrt {2}}X+1,\,X^{2}-{\sqrt {2}}X+1$ nicht zu ${}\mathbb {Q} [X]$. Das Polynom ist also irreduzibel in ${}\mathbb {Q} [X]$.

c) Wir machen den Ansatz

${}{\frac {1}{{\left(X^{4}+1\right)}{\left(X^{2}+1\right)}}}={\frac {1}{X^{6}+X^{4}+X^{2}+1}}={\frac {aX^{3}+bX^{2}+cX+d}{X^{4}+1}}+{\frac {eX+f}{X^{2}+1}}\,.$

Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner führt dies auf

${}{\begin{aligned}1&=(aX^{3}+bX^{2}+cX+d)(X^{2}+1)+(eX+f)(X^{4}+1)\\&=(a+e)X^{5}+(b+f)X^{4}+(a+c)X^{3}+(b+d)X^{2}+(c+e)X+d+f.\end{aligned}}$

Also ist

${}a+e=b+f=a+c=b+d=c+e=0\,$

und

${}d+f=1\,.$

Aus

$a+e=0,\,a+c=0{\text{ und }}c+e=0$

folgt durch Addition der ersten beiden Gleichungen ${}2a=0$ und damit

${}a=c=e=0\,.$

Aus

${}b+f=b+d=0\,$

folgt

${}d-f=0\,,$

also

${}d=f\,$

und aus

${}d+f=1\,$

ergibt sich

${}d=f={\frac {1}{2}}\,$

und somit

${}b=-{\frac {1}{2}}\,.$

Die Partialbruchzerlegung ist also

${}{\frac {1}{{\left(X^{4}+1\right)}{\left(X^{2}+1\right)}}}={\frac {-{\frac {1}{2}}X^{2}+{\frac {1}{2}}}{X^{4}+1}}+{\frac {\frac {1}{2}}{X^{2}+1}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe