Partition/Verfeinerung/Verband/Aufgabe/Kommentar

Das Hauptproblem ist hierbei, sich die Situation klar zu machen, dass die Partitionen, die ja selbst Teilmengen der Potenzmenge sind, hier als Elemente einer neuen Menge betrachten werden. Das Bildchen zu Beispiel gibt darüber einen guten Eindruck. Wenn man sich eine Partition als eine Aufteilung einer Personenmenge in Teams vorstellt, so liegt eine Verfeinerung genau dann vor, wenn die Teams der ersten Partition eventuell weiter aufgeteilt werden, ohne dass was zusammengeführt wird (umgekehrt liegt eine Vergröberung der Partition vor, wenn Teams zusammengeschmissen werden). Es ist klar, dass eine Ordnung vorliegt.

Zum Nachweis, dass ein Verband vorliegt, müssen wir die Rolle des Infimums verstehen. Es seien also zwei Partitionen gegeben, und wir suchen die „feinste gemeinsame Vergröberung“. Wir haben also zwei Teamaufteilung, die nichts miteinander zu tun haben, und diese Teams müssen jeweils als Ganzes in ein gemeinsames Team überführt werden. Wenn eine Teilmenge bei beiden Partitionen ein Team ist, kann man dieses Team direkt übernehmen. Wenn sich ein Team der ersten Aufteilung aus Teams der zweiten Aufteilung zusammensetzt, so müssen wir dieses Team übernehmen. Im Allgemeinen ist die neue Teambildung aber schwieriger. Wenn ein Team aus der ersten Aufteilung und ein Team aus der zweiten Aufteilung sich überschneiden, also ein gemeinsames Element haben, so müssen diese beide Teams als Ganzes zu einem neuen Team gehören. Diese Vereinigung kann auch um ein paar Ecken passieren. Deshalb ist der neue Block, der ein Element ${}x$ enthält, gleich

${}[x]={\left\{y\in M\mid {\text{ es gibt Blöcke }}A_{1},\ldots ,A_{s}{\text{ von }}P_{1}{\text{ und Blöcke }}B_{1},\ldots ,B_{s-1}{\text{ von }}P_{2}{\text{ mit }}x\in A_{1}{\text{ und }}y\in A_{s}{\text{ und }}A_{i}\cap B_{i}\neq \emptyset \right\}}\,.$

Zur kommentierten Aufgabe