Peano-Arithmetik/Auffüllen/Goldbach-Vermutung/Aufgabe

Es sei ${}PA$ die Menge der aus den erststufigen Peano-Axiomen für die Addition und Multiplikation ableitbaren Ausdrücken. Es sei ${}\alpha$ der erststufige Ausdruck, der die Goldbach-Vermutung ausdrückt. Was kann man über die Widerspruchsfreiheit von ${}PA\cup \{\alpha \}$ bzw. von ${}PA\cup \{\neg \alpha \}$ sagen? Was bedeutet dies für das in Fakt

beschriebene Verfahren?