Permutationsgruppe/Gruppe umfasst Teilmengenpermutationen/Vereinigung/Fakt/Beweis

Beweis

Jedes Element ${}\sigma \in S(T_{1}\cup T_{2})$ lässt sich nach Fakt als Produkt von Transpositionen auf ${}T_{1}\cup T_{2}$ schreiben. Es muss also lediglich gezeigt werden, dass solche Transpositionen zu ${}G$ gehören. Es sei ${}\sigma \in S(T_{1}\cup T_{2})$ eine Transposition, und zwar vertausche ${}\sigma$ die Elemente ${}a$ und ${}b$, also ${}\sigma =\langle a,b\rangle$. Wenn beide Elemente zu ${}T_{1}$ (oder zu ${}T_{2}$) gehören, sind wir fertig. Es sei also ${}a\in T_{1},a\notin T_{2}$ und ${}b\in T_{2},b\notin T_{1}$. Es sei ferner ${}c\in T_{1}\cap T_{2}$, und ${}c$ sei von ${}a$ und ${}b$ verschieden (sonst gehören beide zu einer der Teilmengen). Dann ist

${}\sigma =\langle a,b\rangle =\langle a,c\rangle \circ \langle b,c\rangle \circ \langle a,c\rangle \,$

und diese drei Transpositionen gehören zu ${}S(T_{1})$ oder zu ${}S(T_{2})$ und damit zu ${}G$.

Zur bewiesenen Aussage