Permutationsgruppe/Prim/Untergruppe/Transitiv und Transposition/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ${}M={\{1,\ldots ,p\}}$. Wir betrachten Teilmengen ${}T\subseteq M$ derart, dass ${}S(T)\subseteq H$ ist, und wollen ${}T=M$ zeigen. Es sei dazu ${}T_{1}$ eine solche Teilmenge mit maximaler Elementanzahl, die wir ${}k$ nennen. Da es mindestens eine Transposition in ${}H$ gibt, ist ${}k\geq 2$. Für jedes ${}\sigma \in H$ ist ${}T_{\sigma }=\sigma (T_{1})$ ebenfalls eine ${}k$-elementige Menge mit ${}S(T_{\sigma })\subseteq H$. Für ${}\tau \in S(T_{\sigma })$ ist nämlich

${}\tau =\sigma (\sigma ^{-1}\tau \sigma )\sigma ^{-1}\,,$

und ${}\sigma ^{-1}\tau \sigma$ ist eine Permutation auf ${}T_{1}$, sodass sie zu ${}H$ gehört und damit auch ${}\tau \in H$ gilt. Für Permutationen ${}\sigma _{1},\sigma _{2}\in H$ ist entweder ${}T_{\sigma _{1}}=T_{\sigma _{2}}$ oder ${}T_{\sigma _{1}}\cap T_{\sigma _{2}}=\emptyset$, da andernfalls nach Fakt ${}S(T_{1}\cup T_{2})\subseteq H$ wäre im Widerspruch zur Maximalität von ${}k$. Es sei nun ${}x\in M$ vorgegeben und ein ${}y\in T_{1}$ fixiert. Aufgrund der Transitivität gibt es ein ${}\sigma \in H$ mit ${}\sigma (y)=x$. Dann ist natürlich ${}x\in T_{\sigma }$. Das bedeutet, dass die Mengen ${}T_{\sigma }$, ${}\sigma \in H$, die Gesamtmenge ${}M$ überdecken. Wegen der Gleichmächtigkeit dieser Mengen ist ${}p$ ein Vielfaches von ${}k$ und somit ist ${}p=k$, also ${}M=T_{1}$.

Zur bewiesenen Aussage