Permutationsgruppe/Prim/Untergruppe/Transitiv und Transposition/Fakt/Beweis

Beweis

Sei . Wir betrachten Teilmengen derart, dass ist, und wollen zeigen. Sei dazu eine solche Teilmenge mit maximaler Elementanzahl, die wir nennen. Da es mindestens eine Transposition in gibt, ist . Für jedes ist ebenfalls eine -elementige Menge mit . Für ist nämlich

und ist eine Permutation auf , so dass sie zu gehört und damit auch gilt. Für Permutationen ist entweder oder , da andernfalls nach Fakt wäre im Widerspruch zur Maximalität von . Sei nun vorgegeben und ein fixiert. Aufgrund der Transitivität gibt es ein mit . Dann ist natürlich . Das bedeutet, dass die Mengen , , die Gesamtmenge überdecken. Wegen der Gleichmächtigkeit dieser Mengen ist ein Vielfaches von und somit ist , also .