Polar- und Zylinderkoordinaten/Winkel naiv/Multiplikation in C/Einführung/Textabschnitt

Wir besprechen einige wichtige Anwendungen der trigonometrischen Funktionen wie Polarkoordinaten, wobei wir die Winkel naiv verstehen und die trigonometrischen Funktionen als geometrisch definiert betrachten.

Beispiel

Ein Winkel ${}\alpha$ und eine positive reelle Zahl ${}r$ definieren einen eindeutigen Punkt

${}P=(x,y)=(r\cos \alpha ,r\sin \alpha )=r(\cos \alpha ,\sin \alpha )\,$

in der reellen Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}$. Dabei bedeutet ${}r$ den Abstand des Punktes ${}P$ vom Nullpunkt ${}(0,0)$ und ${}(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ bedeutet den Durchstoßungspunkt der durch ${}P$ definierten Halbgeraden mit dem Einheitskreis. Jeder Punkt ${}P=(x,y)\neq 0$ besitzt eine eindeutige Darstellung mit ${}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ und mit einem Winkel ${}\alpha$, der je nach dem gewählten Winkelmaß geeignet zu wählen ist, also beispielsweise aus ${}[0,2\pi [$ ist (der Nullpunkt wird durch $r=0$ und einen beliebigen Winkel repräsentiert). Die Komponenten ${}(r,\alpha )$ heißen die Polarkoordinaten von ${}P$.

Beispiel

Jede komplexe Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$, ${}z\neq 0$, kann man eindeutig schreiben als

${}z=r(\cos \alpha ,\sin \alpha )=(r\cos \alpha ,r\sin \alpha )=r\cos \alpha +(r\sin \alpha ){\mathrm {i} }\,$

mit einer eindeutig bestimmten positiven reellen Zahl ${}r$, nämlich dem Abstand von ${}z$ zum Nullpunkt (also ${}r=\vert {z}\vert$) und einem eindeutig bestimmten Winkel ${}\alpha$ zwischen ${}0$ (einschließlich) und ${}360$ Grad (ausschließlich), der ausgehend von der positiven reellen Achse gegen den Uhrzeigersinn gemessen wird. Man spricht von Polarkoordinaten für die komplexen Zahlen.

Polarkoordinaten der reellen Zahlenebene und für komplexe Zahlen unterscheiden sich nicht. Allerdings erlauben Polarkoordinaten eine Neuinterpretation der Multiplikation von komplexen Zahlen: Wegen

${}{\begin{aligned}(r\cos \alpha +{\mathrm {i} }r\sin \alpha )\cdot (s\cos \beta +{\mathrm {i} }s\sin \beta )&=rs(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )+{\mathrm {i} }rs(\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta )\\&=rs(\cos(\alpha +\beta )+{\mathrm {i} }\sin(\alpha +\beta ))\,\end{aligned}}$

(dabei wurden im letzten Schritt die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus verwendet) multipliziert man zwei komplexe Zahlen, indem man ihre Beträge multipliziert und ihre Winkel addiert.

Diese Neuinterpretation der Multiplikation von komplexen Zahlen führt auch zu einem neuen Verständnis der Wurzeln aus komplexen Zahlen, die es aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra geben muss. Wenn ${}z=r\cos \alpha +r{\mathrm {i} }\sin \alpha$ ist, so ergibt sich, dass

${}w={\sqrt[{n}]{r}}\cos {\frac {\alpha }{n}}+{\sqrt[{n}]{r}}{\mathrm {i} }\sin {\frac {\alpha }{n}}\,$

eine ${}n$-te Wurzel von ${}z$ ist. D.h. man muss für den Betrag der komplexen Zahl die reelle ${}n$-te Wurzel nehmen und den Winkel durch ${}n$ teilen.

Beispiel

Eine räumliche Variante von Beispiel wird durch Zylinderkoordinaten gegeben. Ein Tripel ${}(r,\alpha ,z)\in \mathbb {R} _{+}\times [0,2\pi [\times \mathbb {R}$ wird dabei auf die kartesischen Koordinaten

${}(x,y,z)=(r\cos \alpha ,r\sin \alpha ,z)\,$

abgebildet.