Polynom/R/Bijektiv/Umkehrfunktion/Aufgabe/Lösung

1. Die einzigen reellen Polynome mit polynomialer Umkehrfunktion sind die Polynome der Form ${}aX+b$ mit

   ${}a\neq 0\,.$

   Für diese ist ${}{\frac {1}{a}}X-{\frac {b}{a}}$ die Umkehrfunktion, da ja wegen

   ${}{\frac {1}{a}}{\left(aX+b\right)}-{\frac {b}{a}}=X+{\frac {b}{a}}-{\frac {b}{a}}=X\,$

   und

   ${}a{\left({\frac {1}{a}}X-{\frac {b}{a}}\right)}+b=X-b+b=X\,$

   diese Funktionen invers zueinander sind. Wir zeigen, dass es darüberhinaus keine weiteren Polynome mit polynomialer Umkehrfunktion gibt. Ein konstantes Polynom ist nicht bijektiv. Es sei also ${}P$ ein Polynom, das zumindest einen Grad ${}\geq 2$ besitzt. Wenn man darin ein weiteres nichtkonstantes Polynom einsetzt, ergibt sich aber ebenfalls ein Polynom vom Grad ${}\geq 2$ und nicht ${}X$. D.h., dass ${}P$ keine polynomiale Umkehrfunktion besitzen kann.

2. Die Funktion

   $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3},$

   ist bijektiv nach Fakt, nach Teil (1) kann aber die Umkehrfunktion nicht polynomial sein.

3. Die vollständige Wertetabelle zu dieser Funktion ist

   ${}x$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$
   ${}x^{5}$	${}0$	${}1$	${}4$	${}5$	${}2$	${}3$	${}6$

   also ist die Funktion bijektiv. Diese Funktion ist offenbar zu sich selbst invers, also ist die Umkehrfunktion polynomial.

Zur gelösten Aufgabe