Polynom/x^4+ux^2+vx/Mehrfacher kritischer Punkt/Bedingung an u und v/Aufgabe/Lösung

Die kritischen Punkte sind die Nullstellen der Ableitung, diese ist

$4x^{3}+2ux+v.$

Ein kritischer Punkt ist ausgeartet, wenn auch die zweite Ableitung, also

$12x^{2}+2u$

eine Nullstelle ist. Es geht also um Parameter ${}(u,v)$ mit der Eigenschaft, dass das polynomiale Gleichungssystem

$4x^{3}+2ux+v=0{\text{ und }}12x^{2}+2u=0$

eine Lösung in ${}x$ besitzt. Die zweite Gleichung legt

${}u=-6x^{2}\,$

fest, dies ergibt eingesetzt in die erste Gleichung die Bedingung

${}4x^{3}-12x^{3}+v=0\,,$

also

${}v=8x^{3}\,.$

Insbesondere gibt es zu ${}x$ genua ein Parameterpaar derart, dass ${}x$ ein ausgearteter kritischer Punkt des Polynoms ist. Zwischen ${}u$ und ${}v$ besteht die algebraische Beziehung

${}8u^{3}+27v^{2}=8{\left(-6x^{2}\right)}^{3}+27{\left(8x^{3}\right)}^{2}=0\,.$

Zur gelösten Aufgabe