Polynom/x^4+ux^2+vx/Mehrfacher kritischer Punkt/Bedingung an u und v/Aufgabe/Lösung


Die kritischen Punkte sind die Nullstellen der Ableitung, diese ist

Ein kritischer Punkt ist ausgeartet, wenn auch die zweite Ableitung, also

eine Nullstelle ist. Es geht also um Parameter mit der Eigenschaft, dass das polynomiale Gleichungssystem

eine Lösung in besitzt. Die zweite Gleichung legt

fest, dies ergibt eingesetzt in die erste Gleichung die Bedingung

also

Insbesondere gibt es zu genua ein Parameterpaar derart, dass ein ausgearteter kritischer Punkt des Polynoms ist. Zwischen und besteht die algebraische Beziehung