Polynome/1/Resultantentest/Fakt/Beweis

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt unmittelbar aus der Faktorialität von ${}K[X]$, siehe Fakt. Wir machen den Ansatz

${}p=\sum _{k=0}^{n-1}c_{k}X^{k}\,$

und

${}q=\sum _{\ell =0}^{m-1}d_{\ell }X^{\ell }\,.$

Die Eigenschaft (2) bedeutet, dass es Polynome ${}p$ und ${}q$ mit der angegebenen Gradbedingung gibt, die

${}fp+gq=0\,$

erfüllen. Wenn man die hinter dieser Polynomgleichheit stehenden Koeffizientenbedingungen ausrechnet, so erhält man das lineare Gleichungssystem

${}a_{0}c_{0}+b_{0}d_{0}=0\,,$

${}a_{1}c_{0}+a_{0}c_{1}+b_{1}d_{0}+b_{0}d_{1}=0\,,$

$\vdots$

${}a_{m}c_{n-1}+b_{n}d_{m-1}=0\,.$

Diese Gleichungen ergeben sich ebenfalls, wenn man die Matrixbedingung

${}\left(c_{n-1},\,\ldots ,\,c_{0},\,d_{m-1},\,\ldots ,\,d_{0}\right){\begin{pmatrix}a_{m}&a_{m-1}&\cdots &&a_{0}&&&\\&a_{m}&a_{m-1}&\cdots &&a_{0}&&\\&&\ddots &&&&\ddots &\\&&&a_{m}&a_{m-1}&\cdots &&a_{0}\\b_{n}&b_{n-1}&\cdots &&b_{0}&&&\\&b_{n}&b_{n-1}&\cdots &&b_{0}&&\\&&\ddots &&&&\ddots &\\&&&b_{n}&b_{n-1}&\cdots &&b_{0}\\\end{pmatrix}}=0\,$

zeilenweise auswertet. Die Polynomgleichung hat also eine nichttriviale Lösung genau dann, wenn es für die Matrix eine nichttrivialen Zeilenvektor gibt, dessen Produkt mit der Matrix ${}0$ ergibt. Eine solche Lösung gibt es aber nach Fakt genau dann, wenn die Determinante der Matrix gleich ${}0$ ist.

Zur bewiesenen Aussage