Polynomring/2/Cech-Kohomologie/Beispiel

Sei ${}A=R[X,Y]$. Der Čechkomplex zur Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {A} }_{R}^{2}}$ auf ${}U=D(X)\cup D(Y)\subset {\mathbb {A} }_{R}^{2}$ ist

$0\longrightarrow A_{X}\times A_{Y}\longrightarrow A_{XY}\longrightarrow 0.$

Dieser Komplex ist mit der feinen Monomgraduierung verträglich. Die Komponente zu ${}(\alpha ,\beta )\in \mathbb {Z} ^{2}$ hängt im Wesentlichen davon ab, ob die Exponenten positiv oder negativ sind. Wenn ${}\alpha$ und ${}\beta$ beide nichtnegativ sind, so steht hier insgesamt

$(A_{X}\times A_{Y})_{(\alpha ,\beta )}=R\cdot X^{\alpha }Y^{\beta }\oplus R\cdot X^{\alpha }Y^{\beta }\longrightarrow R\cdot X^{\alpha }Y^{\beta }\longrightarrow 0$

und der Komplex ist hinten exakt und der Kern vorne ist isomorph zu ${}R\cdot X^{\alpha }Y^{\beta }$. Wenn ${}\alpha$ negativ und ${}\beta$ nichtnegativ ist (entsprechend umgekehrt), so steht hier insgesamt

$(A_{X}\times A_{Y})_{(\alpha ,\beta )}=R\cdot X^{\alpha }Y^{\beta }\oplus 0\longrightarrow R\cdot X^{\alpha }Y^{\beta }\longrightarrow 0$

und der Komplex ist exakt. Wenn ${}\alpha$ und ${}\beta$ beide negativ sind, so steht hier insgesamt

$(A_{X}\times A_{Y})_{(\alpha ,\beta )}=0\oplus 0\longrightarrow R\cdot X^{\alpha }Y^{\beta }\longrightarrow 0$

und die hintere Homologie ist ${}R\cdot X^{\alpha }Y^{\beta }$. Insgesamt ist daher

${}{\check {H}}^{0}(D(X),D(Y),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {A} }_{R}^{2}})=\bigoplus _{(\alpha ,\beta )\in \mathbb {N} ^{2}}R\cdot X^{\alpha }Y^{\beta }=A\,$

und ${}{\check {H}}^{1}(D(X),D(Y),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {A} }_{R}^{2}})=\bigoplus _{(\alpha ,\beta )\in \mathbb {Z} _{-}^{2}}R\cdot X^{\alpha }Y^{\beta }$.