Polynomring/Eine Variable/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Ein Element ${}r\in R$ wird als konstantes Polynom aufgefasst, wobei es egal ist, ob man Addition und Multiplikation in ${}R$ oder in ${}R[X]$ ausführt.
2. Wenn ${}R[X]$ integer ist, so überträgt sich dies sofort auf den Unterring ${}R$. Es sei also ${}R$ ein Integritätsbereich und seien ${}P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$ und ${}Q=\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}$ zwei von null verschiedene Polynome. Wir können annehmen, dass ${}a_{n}$ und ${}b_{m}$ von null verschieden sind. Dann ist ${}a_{n}b_{m}\neq 0$ und dies ist der Leitkoeffizient des Produktes ${}PQ$, das damit nicht null sein kann.

Zur bewiesenen Aussage